Pricing of a credit default swap

Tese de mestrado em Matemática Financeira, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2014O presente trabalho é dedicado a avaliar um Credit Default Swap usando como referência o modelo implementado por O’Kane e Turnbull no paper Valuation of Credit Default Swaps (2003). Para essa avaliação é necessário ter conhecimentos de cálculo estocástico assim como alguns conhecimentos acerca de como o mundo dos instrumentos derivados funciona. Neste mesmo âmbito, para a avaliação deste derivado, é necessário estudar a probabilidade de default de ambas as contrapartes e estas probabilidades têm que ser livres de arbitragem. Portanto este modelo tem que ser capaz de capturar a probabilidade de sobrevivência a partir da informação que o mercado dispõe sobre ambas as contrapartes. Neste modelo considera-se um modelo de avaliação de crédito usando uma reduced-form approach. O mais usado neste âmbito é baseado no trabalho de Jarrow and Tunbull (1995), onde os autores caracterizam um evento de crédito como o primeiro evento de um Processo de Contagem de Poisson. Este mesmo evento, ocorre em algum instante Ƭ e com uma probabilidade definida como Pr [Ƭ < t + dt] = λ(t)dt, ou seja a probabilidade de ocorrer algum default no intervalo de tempo [t; t + dt] condicional a ter sobrevivido até t é proporcional a alguma função dependente de t, conhecida como hazard rate , e ao comprimento do intervalo dt. Neste trabalho assumimos que a hazard rate é constante ao longo do tempo de sobrevivência do emitente. Assumimos também uma recovery rate, R, para a obrigação associada ao credit default swap (CDS) e o que o modelo implica é, caso a obrigação não entre em default a probabilidade de sobrevivência é 1 -λ(t)dt e caso ocorra default recebe-se a recovery rate R, com probabilidade λ(t)dt. Para a implementação de um bom modelo de avaliação é necessário usar um algoritmo de bootstrapping para calcular a probabilidade de sobrevivência a cada ano do CDS (este mesmo algoritmo foi implementado usando o Matlab). O resultado que se obteve foi que: enquanto que a probabilidade de sobrevivência ia diminuindo a hazard rate encontrada ia aumentando, por isso quanto mais longo o CDS, maior seria a hazard rate e por consequência uma maior probabilidade de default. Por isso no mercado, os CDS’s mais transaccionados são aqueles com maturidades mais curtas, como 5 ou 10 anos. Para concluir, este modelo é também comparado com o modelo implementado pelos autores John Hull e Alan White no paper Valuing Credit Default Swaps I: No counterparty Default Risk, usando um CDS a 5 anos e uma obrigação, ambos emitidos pelo Banco Espírito Santo na altura da sua reestruturação.The present work is dedicated to evaluate a Credit Default Swap, using as reference the model implemented by O’Kane and Turnbull in their paper Valuation of Credit Default Swaps (2003). For such valuation it is necessary to have acknowledgments about stochastic calculus as well as, some acknowledgments about how the world of the financial derivates instruments works. In this context, for the valuation of this credit derivative, it is necessary to study the default probability of both parties, and those probabilities need to be arbitrage free. So this model has to be able to capture the survival probability with the information given by the market of both parties. This model uses a reduced-form approach for credit modeling. The most used in this context, is based on the work presented in the paper of Jarrow and Turbull (1995)(7), where the authors characterize a credit event as the first event of a Poisson Counting Process. This event, occurs at some moment Ƭ with a probability defined as Pr [Ƭ < t + dt] = λ(t)dt, i.e, the probability of occurring some default in the time interval [t; t + dt] conditional to surviving up to t is proportional to some dependent function of t, known as hazard rate, and to the length of the time interval dt. In this work we assume a constant hazard rate in the survival time of the issuer. We also assume a recovery rate, R, for the bond that is linked to the credit default swap (CDS) and what the model implies is, in the case there is no default, the survival probability is 1 - λ(t)dt and in the case there is a default, we receive a recovery rate R, with probability of λ(t)dt. For the implementation of a good model it is necessary to use a bootstrapping algorithm for the computing of the survival probability for each year of the CDS (this algorithm where implemented using Matlab). The result was: while the survival probability was decreasing, the hazard rate for each year where increasing, so for long maturities of the CDS the greater is the hazard rate and for consequence a higher default probability. So in the markets, the CDS’s more traded is the one’s with shortest maturities, such as 5 and 10 years. For conclusion, this model is compared to the model implemented by the authors John Hull and Alan White in the paper Valuing Credit Default Swaps I: No counterparty Default Risk, using a 5 year CDS and a bond, both issued by Banco Espírito Santo in the time of their restructuring