The convolution method for pricing american options under Lévy processes

Tese de mestrado em Matemática Financeira, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2014Um método flexível, rápido e exacto para avaliação de opções, desde as mais simples às mais complexas com provisões de exercício antecipado, é apresentado. Este método baseia-se na Fast Fourier Transform (FFT) e depende, naturalmente, das transformadas de Fourier. A ideia principal baseia-se em reconhecer que a fórmula usual de avaliação neutra ao risco pode ser calculada como uma convolução. Esta característica, é extremamente útil, dado que convoluções no domínio do tempo podem ser transformadas facilmente em multiplicações no domínio de Fourier, o que permite aplicar a FFT e beneficiar da sua capacidade computacional. Este recente método de avaliação, proposto por Lord et al. (2008), foi apelidado de método da convolução, e é aplicável a uma grande variedade de payoffs necessitando apenas do conhecimento da função característica do modelo. Desta forma, o método é aplicável a vários modelos afins, entre os quais está a classe de modelos exponenciais de Levy. O método apresentado é capaz de estender os métodos anteriores, baseados na FFT para o cálculo de opções Europeias, ao conseguir avaliar opções com provisões de exercício antecipado. Considerando-se uma opção Bermuda M vezes exercível, a complexidade global do método é O(MN log(N)), em que N é número de pontos da grelha utilizados na discretização do preço do activo subjacente. No contexto das opções Americanas, que são os contratos de opções em bolsa mais transaccionados, uma técnica eficiente, baseada na aplicação da extrapolação de Richardson aos preços de opções Bermudas, é apresentada.A flexible, fast and accurate method for pricing options, from plain vanilla to the more complex ones with early-exercise features, is presented. The method is based on the Fast Fourier Transform (FFT) which relies, naturally, on Fourier transformations. The key idea is to recognize that the usual risk-neutral valuation formula can be calculated as a convolution. This feature, is highly useful, since convolutions in the time domain can be translated easily to the Fourier domain, enabling one to apply the FFT and benefit from its computational power. This recent pricing method, proposed by Lord et al. (2008), was dubbed the convolution method, and is applicable to a wide variety of payoffs requiring only the knowledge of the characteristic function of the model. As such, the method is applicable within many regular affine models, among which is the class of exponential Levy models. The presented method is able to extend previous methods, based on the calculation of the FFT for pricing European options, by pricing options with early-exercise features. Considering an M-times exercisable Bermudan option, the overall complexity of the method is O(MN log(N)), with N grid points used to discretize the price of the underlying asset. In the context of American options, which are the most exchange traded option contracts, a highly efficient technique, based on the application of the Richardson extrapolation to the prices of Bermudan options, is presented