Problemas estacionários e de explosão para equações de Schrödinger semilineares

Tese de mestrado em Matemática, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2013Neste trabalho, procede-se ao estudo de questões de existência global e explosão para equações de Schrödinger semilineares. Numa primeira parte, são deduzidas a partir das invariâncias da equação as respectivas leis de evolução e são obtidos os resultados clássicos. No segundo capítulo, são estudadas as soluções periódicas em tempo de iut+Δu+|u|p−1u = 0 e as propriedades qualitativas das soluções de acção mínima (ground states). O caso com potencial é também abordado. Estuda-se ainda o fenómeno de concentração L2 e estima-se a velocidade de explosão para dados iniciais numa vizinhança do ground state no caso crítico. Por fim, generalizamos os resultados obtidos para a equação com termo de amortecimento, provando em particular a explosão no caso crítico para pequenos amortecimentos.In this work, we study global existence and blowup for semilinear Schrödinger equations. In a first part, we deduce laws of evolution using the associated invariances of the equation and the classical results are obtained. In the second chapter, we study the time-periodic solutions of iut+Δu+|u|p−1u = 0 and the qualitative properties of those with minimal action (ground states). The potential case is also approached. We also study the L2-concentration phenomenon and we estimate the explosion speed for initial data in a neighbourhood of the ground state in the critical case. Finally, the results are generalized for the damped nonlinear Schrödinger equation, proving in particular explosion in the critical case for small dampings