O desenvolvimento do sentido da multiplicação e da divisão de números racionais

Tese de doutoramento, Educação (Didáctica da Matemática), Universidade de Lisboa, Instituto de Educação, 2011Este estudo analisa o desenvolvimento do sentido da multiplicação e da divisão de números racionais de alunos do 6.º ano de escolaridade, no âmbito da realização de uma unidade de ensino concebida com o objectivo de o promover. A unidade de ensino, que contempla a exploração de tarefas de multiplicação e divisão de números racionais não negativos em contextos significativos, fundamenta-se nos princípios da Educação Matemática Realista e na Teoria dos Campos Conceptuais, principalmente no que respeita ao desenvolvimento das estruturas multiplicativas, e nas componentes relativas ao desenvolvimento do sentido da multiplicação e da divisão de números racionais não negativos. Por conseguinte, estas temáticas constituem o quadro de referência teórico deste estudo. A metodologia segue o paradigma interpretativo com design de estudo de caso múltiplo, realizando-se três estudos de caso. Para além da investigadora, participaram no estudo uma professora de Matemática e uma das suas turmas do 6.º ano, onde estavam integrados os alunos-caso. A concepção e a realização desta unidade de ensino resultou do trabalho colaborativo entre investigadora e professora. A unidade privilegia: (i) exploração de problemas de contexto reconhecíveis para os alunos; (ii) valorização das produções próprias; (iii) desenvolvimento de modelos de situação; (iv) conexões matemáticas (v) carácter interactivo do ensino-aprendizagem; (vi) avaliação formativa e reguladora e, ainda, a concepção de uma trajectória hipotética de aprendizagem da multiplicação e da divisão de números racionais não negativos, enfatizando o desenvolvimento do raciocínio multiplicativo e o sentido destas operações de forma integrada. A recolha de dados recorreu a técnicas como observação com registos vídeo e áudio, análise documental, testes e entrevistas em profundidade com registo áudio e documental. Os resultados do estudo permitem caracterizar o trajecto de aprendizagem realizado pelos alunos e concluir que todos desenvolveram: (i) familiaridade com diferentes significados e contextos das operações; (ii) flexibilidade no uso das propriedades das operações; (iii) razoabilidade na análise de processos e resultados; e (iv) capacidade de usar símbolos e linguagem matemática formal significativos. Deste modo, desenvolveram sentido da multiplicação e da divisão de números racionais não negativos. Estes resultados sugerem a eficácia da unidade de ensino que serve de base a este estudo.This study analyzes the process of developing the sense of multiplication and division of rational numbers of grade 6 students (11-12 years old), in the framework of a teaching unit designed to promote that development. The teaching unit, which considered the exploration of tasks involving multiplication and division of non negative rational numbers in meaningful contexts, was founded on basic principles of Realistic Mathematics Education and Conceptual Fields Theory, especially as regards the development of multiplicative structures and in components related to the development of the sense of multiplication and division of non negative rational numbers. Therefore, these issues constitute the theoretical framework of this study. The methodology followed the interpretative paradigm to design a multiple case study, carrying out three case studies. Alongside with the researcher, a mathematics teacher participated in the study, as well as one of her grade 6 classes that included the casestudy students. The design and realization of this unit resulted from collaborative work between the researcher and the teacher. The unit focuses on: (i) exploration of issues of recognizable context for students, (ii) appreciation of indigenous resources, (iii) development to model situations, (iv) mathematical connections (v) interactive nature of teaching and learning, (vi) regulatory and formative assessment and also the conception of a hypothetical learning trajectory of multiplication and division of non negative rational numbers, which emphasizes the development of multiplicative reasoning and components of the meaning of these operations in an integrated manner. Data was collected using techniques such as observation with video and sound recordings, document analysis, testing and extensive interviews with audio recordings and documents. The study results allow to characterize the learning trajectory experienced by students and concludes that all developed: (i) familiarity with different meanings and contexts of operations, (ii) flexibility in use of the properties of operations, (iii) the reasonableness process analysis and results and (iv) ability to use formal mathematical language and symbols meaningful, i.e. developed sense of multiplication and division of non negative rational numbers. These results suggest the effectiveness of the teaching unit.Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT,SFRH/BD/38237/2007