As investigações na aula de matemática: um projecto curricular no 8.º ano

Tese de doutoramento em Educação (Didáctica da Matemática), apresentada à Universidade de Lisboa através da Faculdade de Ciências, 2002Este estudo analisa o modo como um projecto em que a exploração de tarefas de investigação foi encarada como metodologia privilegiada de desenvolvimento do currículo influencia a forma como os alunos aprendem e vêem a Matemática e quais os aspectos de carácter curricular que emergem da implementação de um tal projecto. O quadro de referência teórico é constituído por três grandes áreas: o currículo, as investigações matemáticas e a visão dos alunos sobre a Matemática e sua aprendizagem. Na primeira, aprofundam-se os conceitos de currículo e de desenvolvimento curricular a partir de uma discussão que integra diferentes modos de entender e concretizar estes conceitos tanto ao nível geral como ao nível da Matemática. Na segunda, clarifica-se o modo de entender uma investigação matemática e discutem-se aspectos relativos à sua integração curricular. Finalmente, na terceira, analisam-se concepções e expectativas frequentes dos alunos sobre o que é a Matemática e o que é aprender Matemática e discute-se a sua origem e as suas implicações educativas. O estudo segue uma abordagem de investigação qualitativa baseada em estudos de caso. Durante o ano lectivo 1997/98 a investigadora e a professora de uma turma do 8º ano, desenvolveram cooperativamente um projecto curricular em que a experiência matemática dos alunos, consistindo essencialmente em experimentar, ao seu nível de maturidade, o trabalho dos matemáticos profissionais, foi preferencialmente considerada como o ponto de partida para a construção de conceitos, aquisição de técnicas e conteúdos constantes do currículo oficial. A recolha de dados decorreu ao longo deste mesmo ano lectivo e incidiu sobre os alunos desta turma em geral e, em particular, em três dos seus elementos. Os registos áudio e vídeo do trabalho realizado na aula, a observação participante e as entrevistas realizadas aos alunos estudados individualmente constituíram as principais fontes de recolha de dados. No entanto, usou-se uma grande variedade de fontes de informação que incluíram documentos de diversos tipos e questionários. Os resultados do estudo permitem caracterizar a evolução dos alunos relativamente ao modo de explorar as tarefas de investigação. Ao nível da exploração inicial, a tendência em transformar num fim em si mesmo as primeiras experiências de recolha de dados e a dificuldade em entender a investigação como um todo evoluem, e os alunos passam a relacionar as observações iniciais e a procurar clarificar o foco da investigação. A tendência em não formular questões persiste mas conseguem passar a explicitar as conjecturas que formulam e que inicialmente apenas formulavam implicitamente. A compreensão do estatuto de uma conjectura, da não linearidade do processo de investigar e da importância e significado da prova de conjecturas revelam-se como aspectos em que os alunos têm dificuldades mas que progressivamente vão compreendendo. Deste estudo é possível concluir que a exploração continuada de investigações é uma experiência com várias potencialidades ao nível do ensino da Matemática: motiva os alunos, ajuda a estabelecer um ambiente em que os alunos participam activamente, facilita a compreensão vivida de processos e ideias matemáticos e da actividade matemática. Os resultados do estudo indicam também que a participação no projecto curricular influencia a evolução da visão dos alunos sobre a Matemática e sua aprendizagem. Os alunos passam a salientar o raciocínio e a exploração de investigações, a preferir uma aprendizagem em que têm um papel activo e mostram uma maior compreensão da natureza da Matemática. Finalmente, este estudo sugere que é possível explorar uma grande diversidade de temas do programa de Matemática usando as investigações como metodologia privilegiada de desenvolvimento do currículo, que, sobretudo em determinadas fases, o recurso à utilização de materiais manipuláveis e do computador pode ser importante para apoiar a evolução dos alunos, que é importante que os alunos elaborem relatórios escritos das investigações que realizam e que o formato em pequeno grupo, embora seja uma organização de trabalho adequada para explorar tarefas de investigação, poderá ser complementado com a exploração de algumas tarefas em grande grupo.This study was developed in the context of a project where investigations were faced as a curricular development methodology. It analyzes the influence of this project in the way students learn and see mathematics and the curricular aspects that emerge from this project implementation. The theoretical framework of the study integrates three main areas: curriculum, mathematical investigations and students’ conceptions about mathematics and mathematics learning. In the first one, different approaches to the curriculum and curriculum development concepts are discussed. The second one intends to clarify the meaning of a mathematical investigation and to discuss its curricular integration. Finally, the third one is dedicated to analyze common students’ conceptions about mathematics and mathematics learning and to discuss their roots and educational implications. The study stands on a qualitative methodology based on case studies. During the 1997/98 school year, the researcher and an 8th grade mathematics teacher developed a curricular project that assumed students’ mathematical experience, understood as mainly consisting in experiencing the kind of work of professional mathematician, as the starting point to explore official curriculum contents and processes. Data was gathered throughout the school year and felt upon all class students in general, and on three students in particular. Data collection included video and audio tape recording, participant observation and interviews to the three students individually studied. Moreover, a great diversity of sources of information was considered, including different kinds of documents and questionnaires. The results of this research allow us to characterize students’ evolution in the exploration of investigative tasks. The tendency to take the initial experiences of data collection as an end in itself, as well as the difficulty to understand the investigation as a whole, evolved and students began to establish relations between initial observations and to clarify the focus of the investigation. Although the tendency of not formulating questions to investigate persisted, students also evolved from only being able to formulate implicit conjectures to the ability of formulating explicit conjectures. The meaning of a conjecture, the non linearity of the investigative process and the importance and meaning of proving a conjecture – in which students had initial difficulties – are also aspects in which they revealed to have gradually developed an increasing understanding. The study shows that a continuous experience in exploring mathematical investigations has several potentialities as far as the teaching of mathematics is concerned: it motivates students, it helps to establish a learning environment where students actively participate, it facilitates an experienced understanding of mathematical ideas, processes and activity. This study also concludes that the participation in the curricular project influences the evolution of students’ conceptions about mathematics and its learning. Students tend to emphasize reasoning and investigation, to prefer a learning process where they play an active role and to show a deeper understanding of the nature of mathematics. Finally, the study shows that it is possible to explore a large variety of curricular mathematical themes and topics using an investigative methodology for curriculum development. It also suggests that the use of manipulative materials may be important to support students’ progress, that it is important that students organize written reports of their own investigations and that small group work, although adequate for this kind of activity, may be complemented and enriched with the exploration of some investigations in a whole class format