Modelization and simulation of the cardiac electrophysiology at microscopic scale.

Dans les dernières décennies, l'impact dû à l'altération de la microstructure du tissu cardiaque dans la survenue de troubles arythmiques (syndrome de Brugada, fibrillation auriculaire, syndromes de repolarisation précoce…) est de plus en plus étudié. Les données expérimentales relatives au fonctionnement et aux régulations intervenant aux échelles cellulaires et subcellulaires (jonctions communiquantes, rôle de certains canaux ioniques) sont de plus en plus nombreuses, et fournissent un cadre adapté aux numériciens pour développer ou affiner des modèles et en valider les comportements. Dans cette thèse, nous proposons le développement et l'étude d'un modèle « microscopique » prenant en compte la géométrie individuelle des cellules et les jonctions communiquantes entre elles. Le modèle vise à comprendre la propagation du potentiel d'action au sein d'un réseau de cellules. Nous établissons ce modèle via une étude du comportement des ions dans les cellules. Ce comportement, décrit par diverses équations de la physique microscopique (électrostatique...), fournit un cadre à partir duquel, en effectuant quelques analyses dimensionnelles et une étude asymptotique, nous dérivons le modèle susmentionné. Puis, nous démontrons l'existence d'une solution à ce modèle à l'aide d'un processus de discrétisation en temps « semi-implicite » et de théorèmes de compacité. Nous proposons ensuite un ensemble de simulations dont l'objet est de comprendre la propagation des potentiels d'action entres cellules au sein d'un réseau, et en particulier le rôle des jonctions communiquantes. Nous étudions différents modèles de jonctions communiquantes, dont un non-linéaire et dépendant du temps. Cette thèse ouvre de nombreuses perspectives, à courte échéance des comparaisons à des observations expérimentales chez la souris, et à plus long terme de recherche sur les mécanismes de propagation à l'échelle cellulaire et leurs impact sur les troubles du rythme cardiaque.During the last decades, studies regarding the prospective impact of the alterations at the microscopic scale of the heart tissue in the appearance of arrhythmias (Brugada's syndrome, atrial fibrillation, early repolarization syndrome...) have been more numerous. The amount of experimental data regarding the behaviors and regulations that occur at a cellular and a subcellular (gap junctions, role of specific ionic channels) is increasing and these data provide an adapted frame for the computational mathematicians to develop or improve models and confirm their behaviour. In this thesis, we developed and studied a ``microscopic'' model taking into account the individual geometry of the cells and the gap junctions between them. This model is designed to enhance our understanding of the action potential propagation in a network of cells. We extracted this model using a study of the ions movements in the cells. These movements, described by various microscopic physics equations (electrostatic...), and some dimensional analysis, including an asymptotic study, allow us to derive the model. We then show that the problem described by such a model has a solution, via a semi-implicit time discretization process and compacity arguments. Afterwards, we offer numerous simulations in order to enhance our understanding of the action potential propagation between the cells of various networks. We specifically customize the gap junction models we use (a geometric one, a linear one and a non-linear one) to enhance our comprehension. This thesis introduces many questions. On the short-term, on the comparison between experimental data observed on mice cells and our results. On the long-term regarding the mechanisms regulating the action potential propagation, and their impact on the alterations of the cardiac rhythm