Virtual element methods for problems in acoustics and fluid dynamics

Diese Arbeit befasst sich mit der Einführung und Analyse von Virtuellen Elemente Methoden (VEM) für Problemstellungen in Akustik und Fluiddynamik. Implizite Definitionen der Basisfunktionen und geeignete Projektoren auf Räume von bekannten Funktionen ermöglichen den Einsatz von allgemeinen polytopalen Netzen und bieten daher im Vergleich zu Finiten Elemente Methoden mehr Freiheit bei der Konstruktion von Zerlegungen des Grundgebietes. Als Modellprobleme in Akustik und Fluiddynamik werden das Helmholtz Problem und das Problem der Vermischung von inkompressiblen Fluiden in porösen Medien betrachtet. Für das Helmholtz Problem wird eine VEM eingeführt, die zusätzlich über die Trefftz Eigenschaft verfügt, d.h. die verwendeten Basisfunktionen liegen im Kern des Helmholtz Operators. Dies gestattet, eine vorgegebene Approximationsgenauigkeit mit deutlich weniger Freiheitsgraden als mit Standardmethoden (nicht-Trefftz Methoden) zu erreichen, jedoch mit dem Nachteil einer möglicherweise sehr schlechten Konditionierung. Die Stetigkeitsbedingungen entlang der Kanten werden in einem nichtkonformen Sinn festgesetzt, was die Konstruktion eines numerischen Prozesses zur Milderung der schlechten Konditionierung erlaubt und die Methode wettbewerbsfähig macht. Theoretische und numerische Ergebnisse werden präsentiert. Das betrachtete fluiddynamische Problem kann durch eine nichtlineare Kopplung einer elliptischen Gleichung für den Druck mit einer parabolischen für die Konzentration beschrieben werden. Es werden semidiskrete und volldiskrete Formulierungen dieses Problems basierend auf einem gemischten Zugang im Kontext der virtuellen Elemente vorgestellt und analysiert. Die hergeleiteten theoretischen Resultate werden mittels numerischer Experimente überprüft.This thesis deals with the design and analysis of virtual element methods (VEM) for problems in acoustics and fluid dynamics. By an implicit definition of the basis functions and suitable projectors onto spaces of known functions, VEM are capable of coping with general polytopal meshes and thus provide more freedom in mesh generation, in comparison to standard finite element methods. As acoustic and fluid dynamics model problems, the Helmholtz problem and the miscible displacement of incompressible fluids in porous media, respectively, are considered. For the Helmholtz problem, a VEM is introduced that additionally fulfills the Trefftz property, i.e. the employed basis functions belong to the kernel of the Helmholtz operator. This feature allows to reach a given accuracy with significantly less degrees of freedom than with standard (non-Trefftz) methods, however at the price of a possibly severe ill-conditioning. The interelement continuity constraints are imposed in a nonconforming sense, allowing the construction of a numerical process to significantly mitigate the strong ill-conditioning and thus to render the method competitive. Theoretical and numerical results are presented. The fluid dynamics model problem under consideration can be described by a nonlinear coupling of an elliptic equation for the pressure with a parabolic one for the fluid concentration. A semidiscrete and a fully discrete formulation based on a mixed approach of this problem in the virtual element context are presented and analyzed. Numerical experiments validate the theoretical results