Quantum engineering with Kerr media: Schrödinger cat and kitten generation, and photon blockade

Wydział FizykiGłównym tematem pracy jest zastosowanie ośrodka kerrowskiego do generacji nieklasycznych stanów, np. typu kota i kociąt Schrödingera oraz stanów fokowskich obciętych za pomocą blokady fotonowej. Praca składa się z trzech głównych części. W pierwszej części badano zagadnienie generacji dyskretnych superpozycji stanów koherentnych (zwanych kotami i kociętami Schrödingera) w trakcie ewolucji czasowej m-fotonowego oscylatora anharmonicznego. Otrzymano ścisłą analityczną formułę na współczynniki superpozycji z dowolną liczbą składowych. Pokazano także, że w przeciwieństwie do oscylatora dwufotonowego, składniki superpozycji dla m>2 tworzą stan z różnymi prawdopodobieństwami, przez co superpozycja staje się mniej symetryczna niż w przypadku m=2. Zastosowano funkcję rozkładu fazowego P(θ)otrzymaną z formalizmu fazowego Pegga i Barnetta, żeby pokazać symetrie superpozycji. W układzie współrzędnych biegunowych funkcje te precyzyjnie odzwierciedlały symetrię stanów składowych, pokazując ich liczbę (jeśli stany były dobrze oddzielone), prawdopodobieństwo wystąpienia w superpozycji oraz fazę. Te rozkłady fazowe obliczone numerycznie dla stanu kwantowego pola w wybranych momentach czasu,Ʈ=2π M/N (gdzie M i N są liczbami względnie pierwszymi), potwierdzają nasze poprzednie przewidywania oparte na analitycznym wzorze dla składników superpozycji stanów. Aby zaprezentować charakterystyczne cechy otrzymanych stanów, wykorzystane zostały także funkcje quasi-prawdopodobieństwa Wignera oraz Husimiego, Te funkcje również potwierdziły wcześniej otrzymane wnioski. Ponadto funkcja Wignera wykazała nieklasyczność otrzymanych stanów, ponieważ w pewnych obszarach przestrzeni fazowej przyjmowała wartości ujemne. W drugiej części analizowano blokadę fotonową. Proces ten, analogicznie do blokady Coulomba czy blokady fononowej, polega na tym, że obecność pojedynczego fotonu w nieliniowej wnęce blokuje przejście drugiego fotonu. Ten efekt może wystąpić w układach kerrowskich pompowanych przez wiązkę laserową na skutek silnych nieliniowych oddziaływań typu foton-foton. Przewidziano pojawienie się blokad fotonowych wyższego rzędu, gdzie transmisja więcej niż dwóch fotonów jest efektywnie zablokowana przez obecność jednego lub dwóch fotonów w układzie. Tę blokadę fotonową można osiągnąć przez dopasowanie częstości lasera pompującego do sumy współczynnika nieliniowości kerrowskiej i częstości rezonansowej wnęki. Nazwano to zjawisko blokadą dwufotonową lub dwufotonowym obcięciem stanu za pomocą nieliniowych nożyc kwantowych. Blokada ta może być także interpretowana jako tunelowanie wymuszone fotonami. Pokazano także, że dla częstości pola pompującego spełniającej inny warunek rezonansu i dla silniejszych pól pompujących, może pojawić się także blokada trójfotonowa. Opisano jak można zidentyfikować różne blokady fotonowe za pomocą korelacji liczby fotonów, koherencji i własności entropowych, a także funkcji Wignera i spektrum ściśnięcia. Dalej wykazano, że blokady dwu- i trzyfotonowe mogą być obserwowane we wnękach i obwodach kwantowych układów elektrodynamicznych, w których pojawiła się już blokada jednofotonowa, bez konieczności zastosowania wyższego rzędu oddziaływań czy ośrodków kerrowskich o wyższym rzędzie nieliniowości. W ostatniej części omówiona została generacja kuditowych stanów koherentnych (CS), w szczególności stanów kota Schrödingera. Konwencjonalne stany CS można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów: działając operatorem przesunięcia na stan próżni albo bezpośrednio, przez nieskończone rozwinięcie w bazie stanów Focka. Te definicje przestają być równoważne, gdy rozważamy je w skończonych, d-poziomowych układach (kuditach). Zaprezentowano porównawczy opis za pomocą funkcji Wignera kuditowych CS zdefiniowanych (i) przez działanie obciętym operatorem przesunięcia próżni oraz (ii) przez rozkład Poissona stanów Focka obcięty na (d-1)-fotonowym stanie Focka. Te stany można wygenerować z klasycznego światła przez ich optyczne obcięcie wykorzystując odpowiednio nieliniowe i liniowe nożyce kwantowe. Pokazane zostało również, że makroskopowo rozróżnialna superpozycja dwóch kuditowych CS (zgodnie z obiema definicjami) może zostać uzyskana z dużą wiernością przez przesunięcie próżni w kuditowej przestrzeni Hilberta. Jeżeli wymiar kuditu d jest parzysty (nieparzysty), to ta superpozycja stanów zawiera stany fokowskie o nieparzystej (parzystej) liczbie fotonów, co można nazwać nieparzystym (parzystym) kuditowym stanem koherentnym lub stanem kota Schrödingera.To zjawisko daje się zinterpretować jako interferencja pojedynczego CS z jego odbiciem od stanu Focka o najwyższej energii w kuditowej przestrzeni Hilberta, co czytelnie pokazuje interferencja funkcji Wignera w przestrzeni fazowej. Analizowano też nieklasyczne własności kuditowego stanu koherentnego za pomocą korelacji liczby fotonów i nieklasycznej objętości funkcji Wignera, która jest miarą nieklasyczności (kwantowości) stanów. Na koniec pokazane zostały tomogramy optyczne, które można zmierzyć w detekcji homodynowej analizowanych stanów kuditowych i które umożliwiają kompletną rekonstrukcję funkcji Wignera dla tych stanów. Mam nadzieję, że wyniki zawarte w tej pracy przyczynią się do wzrostu zainteresowania wdrożeniem zjawiska Kerra do przetwarzania informacji kwantowej zakodowanej w kuditach oraz w inżynierii kwantowej.The main subject of this PhD thesis is the application of a Kerr medium to generate nonclassical states, like Schrödinger cat states and photon-number truncated states via photon blockade. The dissertation is composed of three main parts. In the first part we studied the problem of the generation of discrete superpositions of coherent states (referred to as the Schrödinger cat and kitten states) in course of evolution of m-photon anharmonic oscillator. We obtained exact analytical formulae for the superposition coefficients with an arbitrary number of components. We showed that, in contrast to the two-photon process, the superposition components for m>2 enter the superposition with different probability making the superposition less symmetrical. We applied the phase distribution function P(θ) obtained from the Pegg-Barnett Hermitian phase formalism to show explicity the symmetry of the superpositions. The polar plots of this function clearly reflect such symmetry showing the number of components (if the states are well separated), their probabilities and phases. The phase distributions calculated numerically from the exact quantum state of the field, for the evolution times Ʈ=2π M/N (where M and N are coprime integers), supported our predictions based on the analitycal formulae for the superposition coefficients. We used the Wigner and Husimi functions to demonstrate the characteristic feature of generating state. These quasiprobability functions confirmed our earlier conclusions. In particular, the Wigner function showed explicity the nonclassicality of our states because in certain areas of the phase space it had negative values. In the second part we analized a photon blockade process. Photon blockade, in analogy to Coulomb’s or phonon blockades, is a phenomenon when a single photon in a nonlinear cavity blocks the transmission of a second photon. This effect can occur in Kerr-type systems driven by a laser due to strong nonlinear photon-photon interactions. We predicted the occurrence of higher-order photon blockades where the transmission of more than two photons is effectively blocked by single- and two-photon states. This photon blockade can be achieved by tuning the frequency of the laser driving field to be equal to the sum of the Kerr nonlinearity and the cavity resonance frequency. We refer to this phenomenon as two-photon blockade or two-photon state truncation via nonlinear scissors, and can also be interpreted as photon-induced tunneling. We also show that, for a driving-field frequency fulfilling another resonance condition and for higher strengths of the driving field, even a three-photon blockade can occur but less clearly than in the case of single- and two-photon blockades. We demonstrate how various photon blockades can be identified by analyzing photon-number correlations, coherence and entropic properties, the Wigner functions, and spectra of squeezing. We show that two- and three-photon blockades can, in principle, be observed in various cavity and circuit quantum electrodynamical systems for which the standard single-photon blockade was observed without the need of using higher-order driving interactions or Kerr media exhibiting higher-order nonlinear susceptibility. In the last part we discussed the generation of qudit coherent states (CS), in particular, the qudit Schrödinger cat states. Conventional Glauber CS can be defined in several equivalent ways, e.g., by displacing the vacuum or, explicitly, by their infinite Poissonian expansion in Fock states. It is well known that these definitions become inequivalent if applied to finite d-level systems (qudits). We presented a comparative Wigner-function description of the qudit CS defined (i)~by the action of the truncated displacement operator on the vacuum and (ii) by the Poissonian expansion in Fock states of the Glauber CS truncated at (d − 1)-photon Fock state. These states can be generated from a classical light by its optical truncation using nonlinear and linear quantum scissors devices, respectively. We showed a surprising effect that a macroscopically distinguishable superposition of two qudit CS (according to both definitions) can be generated with high fidelity by displacing the vacuum in the qudit Hilbert space. If the qudit dimension d is even (odd), then the superposition state contains Fock states with only odd (even) photon numbers, which can be referred to as the odd (even) qudit CS or Schrödinger’s cat state. This phenomenon can be interpreted as an interference of a single CS with its reflection from the highest-energy Fock state of the Hilbert space, as clearly seen via phase-space interference of the Wigner function. We also analyzed nonclassical properties of the qudit CS including their photon-number statistics and nonclassical volume of the Wigner function, which is a quantitative parameter of nonclassicality (quantumness) of states. Finally, we studied optical tomograms, which can be directly measured in the homodyne detection of the analyzed qudit cat states and enable the complete reconstructions of their Wigner functions. We hope that the results of this thesis can stimulate further interest in finding applications of the Kerr effect in quantum information processing (including quantum teleportation) with qudits and quantum engineering