Depth-Based method for functional data analysis

Mención Internacional en el título de doctorThe technological advancements of the last decades have led statisticians to face not only large sets of information but complex data structures. In this context, the Functional Data Analysis arises naturally to analyze the variables that are observed along a continuum, such as time or space. This work focuses on the concept of depth and its applications, a tool that has demonstrated great virtues within non-parametric statistics to solve visualization problems, outliers detection, inference, supervised and unsupervised classification. Chapter 2 presents an overview of the concept of depth and its applications. This thesis broadens the framework for applying depth measures in the functional data context. First, Chapter 3 introduces depth measures for functional data sets that are systematically partially observed. Consequently, this contribution enables the application of depth-based methods to partially observed data sets. In particular, its utility is shown in problems of outliers detection and supervised classification. Second, Chapter 4 addresses the problem of forecasting functional time series using the concept of depth. In this situation, each curve represents an instant of time and the methodology allows to predict complete functions or fragments of the future. In addition to point and band prediction in a fully data-driven way, the technique offers several visualization tools that complement the forecast. In Chapter 5, we combine the ideas of Chapters 3 and 4 to introduce a partially observed functional data reconstruction method. Finally, Chapter 6 presents the main conclusions of the methods introduced in the thesis.Los avances tecnológicos de las ú ltimas décadas han llevado a los estadı́sticos a afrontar no sólo grandes conjuntos de información sino complejas estructuras de datos. En este contexto, el Análisis de Datos Funcionales surge de forma natural para analizar variables que son observadas a lo largo de un continuo, como el tiempo o el espacio. Este trabajo se centra en el concepto de profundidad y sus aplicaciones, una herramienta que ha demostrado tener grandes virtudes dentro de la estadı́stica no paramétrica para resolver problemas de visualización, detección de atı́picos, inferencia, clasificación supervisada y no supervisada. El Capı́tulo 2 presenta una revisión de la literatura sobre el concepto de profundidad e ilustra algunas de las aplicaciones más importantes. Esta tesis amplı́a el marco de aplicación de las medidas de profundidad dentro del contexto de los datos funcionales. En primer lugar, el Capı́tulo 3 introduce medidas de profundidad para conjuntos de datos funcionales que están sistemáticamente parcialmente observados. En consecuencia, esta contribución habilita la aplicación de métodos basados en profundidades a conjuntos de datos parcialmente observados. En particular, se muestra su utilidad en problemas de detección de datos atı́picos y clasificación supervisada. En segundo lugar, el Capı́tulo 4 afronta el problema de predicción de series de tiempo funcionales utilizando el concepto de profundidad. En esta situación, cada curva representa un instante del tiempo y la metodologı́a permite realizar predicción de funciones completas o fragmentos continguos del futuro. Además de predicción puntual y por bandas de una forma totalmente automática, la técnica ofrece varias herramientas de visualización que complementan la predicción. En el Capı́tulo 5, combinamos las ideas de los Capı́tulos 3 y 4 para introducir un método de reconstrucción de datos funcionales parcialmente observados. Finalmente, el Capı́tulo 6 presenta las conclusiones de la tesis.This work was supported by the Spanish Ministry of Education under grant FPU15/00625. Two additional grants from this foundation enabled my research stays at the Politecnico di Milano and at the Australian National University. At various stages of my study this work was also partially supported by the Spanish Ministry of Economy and Competitiveness under grant ECO2015-66593-P and by the Department of Statistics of Carlos III University of Madrid.Programa de Doctorado en Economía de la Empresa y Métodos Cuantitativos por la Universidad Carlos III de MadridPresidente: Pedro Francisco Delicado Useros; Secretario: Andrés Modesto Alonso Fernández; Vocal: Stanislav Nag