Consecutive power sums and Bernoulli polynomials

Bu çalısmanın amacı (x + 1)k + (x + 2)k + . . . + (2x)k = yn Diophant denkleminin pozitif tamsayı çözümleri için n'ye üst sınırlar bulmak ve bu üst sınırlara bağlı olarak denklemin çözümlerinin olduğu durumları belirlemektir. Tez üç ̧ bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde Bernoulli sayıları ve Bernoulli polinomları hakkında temel bilgiler verilmiştir. ikinci bölümde ardışık kuvvet toplamları tipindeki Diophant denklemler ve bu denklemlerle ilgili literatür bilgisi verilmiştir. Üçüncü bölümde ise (x + 1)k + (x + 2)k + ... + (2x)k = yn Diophant denkleminde k ve x'e bağlı yapılan sınıflandırmayla n için sabit üst sınırlar ile 2-sel ve 3-sel değerlendirme fonksiyonlarına bağlı üst sınırlar elde edilmiştir.The aim of this work is to find upper bounds for n for positive integer solutions of the Diophantequation(x+1)k +(x+2)k +...+(2x)k =yn andtodeterminethecasesin which this equation has solutions. This thesis consists of three chapters. In the first chapter, the fundamental notions are given concerning Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials. In the second chapter, the Diophantine equations for sums of consecutive like powers and their literature are given. In the third chapter, some fixed upper bounds and some upper bounds which depend on 2- adic and 3-adic valuation functions for n are obtained according to the classification which depends on k and x on the Diophantine equation (x+1)k +(x+2)k +...+(2x)k = yn