Marches au hasard sur des graphes géométriques aléatoires engendrés par des processus ponctuels

Random walks on random graphs embedded in Rd appear naturally in problems arisingfrom statistical mechanics such that the description of flows, molecules or heat diffusionsin random and irregular environments. The general idea is to extend known results forrandom walks on Zd or on random perturbations of the grid to results for random walkson graphs generated by point processes in Rd.In this thesis, we consider nearest neighbor random walks on graphs depending on thegeometry of a random infinite locally finite set of points. More precisely, given a realisationof a simple stationary point process in Rd, a connected infinite and locally finite graph G isconstructed. This graph is then possibly equipped with a conductance function C, that is apositive function defined on its edge set. Examples of graphs studied in this manuscript arethe Delaunay triangulation, the Gabriel graph, the creek-crossing graphs and the skeletonof the Voronoi tiling generated by the point process. We study properties of the simplerandom walk or of a random walk associated with the conductance C on such graphs.The main results concern the characterisation of the recurrence or transience of therandom walks and the description of their diffusive scaling limits. Under suitable assumptionson the underlying point process and the conductance function, we show that therandom walks on the Delaunay triangulation, the Gabriel graph and the skeleton of theVoronoi tiling generated by almost every realisation of the point process are recurrent ifd = 2 and transient if d 3. We state an annealed invariance principle for simple randomwalks starting from the origin on the Delaunay triangulation, the Gabriel graph and thecreek-crossing graphs generated by Palm measures of suitable point processes. Finally,we show a quenched invariance principle for simple random walks on random Delaunaytriangulations.This thesis uses tools from both stochastic geometry (point processes, Palm measures,random graphs ...) and the theory of random walks (links with electrical networks theory,the environment seen from the particle,...).Les marches aléatoires sur des graphes aléatoires plongés dans R^d apparaissent naturellementdans de nombreux problèmes issus de la mécanique statistique tels que la descriptionde flux, de diffusions de molécules ou de chaleur dans des milieux aléatoires et irréguliers.L’idée générale est d’étendre des résultats connus sur la grille Z^d ou des perturbationsaléatoires de celle-ci à des graphes engendrés par des processus ponctuels dans R^d.Dans cette thèse, on considère des marches au plus proche voisin sur des graphesdépendant de la géométrie d’un ensemble aléatoire et infini de points. Plus précisément,étant donnée une réalisation d’un processus ponctuel simple et stationnaire dans R^d, ungraphe G, connexe, infini et localement fini, est construit. Ce graphe est ensuite muni´eventuellement d’une fonction de conductance C, c’est-`a-dire une fonction strictement positived´efinie sur son ensemble d’arˆetes. Les exemples de graphes g´eom´etriques ´etudi´es dansce manuscrit sont la triangulation de Delaunay, le graphe de Gabriel, les creek-crossinggraphs et le squelette de la mosaïque de Voronoï engendrés par le processus ponctuel. Onétudie les propriétés la marche simple et la marche associée à la conductance C sur de telsgraphes.Les principaux résultats portent sur la caractérisation de la récurrence ou de la transiencepresque sûre des marches aléatoires et sur la description de leurs limites diffusives.On montre que, sous des hypothèses convenables sur le processus ponctuel sous-jacentet la fonction de conductance, les marches aléatoires sur la triangulation de Delaunay, legraphe de Gabriel et le squelette de la mosaïque de Voronoï engendrés par presque touteréalisation de ce processus ponctuel sont récurrentes si d = 2 et transitoires si d 3. On´etablit aussi un principe d’invariance annealed (ou en moyenne) pour les marches simplespartant de l’origine sur la triangulation de Delaunay et le graphe de Gabriel engendr´espar les mesures de Palm de certains processus ponctuels ainsi qu’un principe d’invariancequenched (ou presque sûr) pour les marches simples sur des triangulations de Delaunayengendrées par des processus ponctuels.Cette thèse exploite à la fois des outils de géométrie aléatoire (processus ponctuels,mesures de Palm, mosaïques et graphes aléatoires...) et de la théorie des marches aléatoires(liens avec les réseaux électriques, l’environnement vu par la particule)