Towards the Green-Griffiths-Lang conjecture

version 2 has been expanded and improved (15 pages)International audienceThe Green-Griffiths-Lang conjecture stipulates that for every projective variety X of general type over C, there exists a proper algebraic subvariety of X containing all non constant entire curves f : C → X. Using the formalism of directed varieties, we prove here that this assertion holds true in case X satisfies a strong general type condition that is related to a certain jet-semistability property of the tangent bundle TX . We then give a sufficient criterion for the Kobayashi hyperbolicity of an arbitrary directed variety (X,V). This work is dedicated to the memory of Professor Salah Baouendi.La conjecture de Green-Griffiths-Lang stipule que pour toute variété projective X de type général sur C, il existe une sous-variété algébrique propre de X contenant toutes les courbes entières non constantes f: C → X. En utilisant le formalisme des variétés dirigées, nous prouvons ici que cette affirmation est vraie dans le cas où X est de type général et satisfait une condition additionnelle liée à une certaine propriété de semi-stabilité au sens des jets du fibré tangent TX. Nous donnons ensuite un critère suffisant garantissant l'hyperbolicité au sens de Kobayashi d'une variété dirigée arbitraire (X,V). Ce travail est dédié à la mémoire du professeur Salah Baouendi