(Z_2)^n-Superalgebra and (Z_2)^n-Supergeometry

The present thesis deals with a development of linear algebra, geometry and analysis based on (Z_2)^n-superalgebras: associative unital algebras which are (Z_2)^n-graded (for some natural number n) and graded-commutative, i.e., satisfying ab = (-1)^ ba, for all homogeneous elements a, b of respective degrees deg(a), deg(b) in (Z_2)^n, and denoting the usual scalar product. This generalization widens the range of applications of supergeometry to many mathematical structures -- the algebra of quaternions H and more generally Clifford algebras, Deligne algebra of superdifferential forms, higher vector bundles ... -- and appears also in physics -- for describing anyons, paraparticles -- proving its worth and relevance. In this dissertation, we first focus on (Z_2)^n-superalgebra theory: we define and characterize the notions of trace, determinant and Berezinian of matrices over graded-commutative algebras. Special attention is given to the case of Clifford algebras, where our study gives a new approach to treat the classical problem of finding a “good” determinant for matrices with non-commuting (quaternionic) entries. Further, we undertake the study of (Z_2)^n-graded differenital geometry. Privileging the ringed space approach, we define (smooth) (Z_2)^n-supermanifolds modeling their algebras of functions on the (Z_2)^n-commutative algebra of formal power series in graded variables, and develop the theory along the lines of supergeometry. Notable results are: the graded Berezinian and its cohomological interpretation (essential to establish integration theory); the theorem of morphism, which states that a morphism of (Z_2)^n-supermanifolds can be recovered from its coordinate expression; an analogous of Batchelor-Gawedzki theorem for (Z_2)^n-supermanifolds.La présente thèse porte sur le développement d’une théorie d’algèbre linéaire, de géométrie et d’analyse basée sur les algèbres (Z_2)^n-graduées-commutatives, c.-à-d. des algèbres graduées associatives unitaires satisfaisant ab = (-1)^ ba, pour tout couple d’éléments homogènes a, b de degrés deg(a), deg(b) dans (Z_2)^n (où est le produit scalaire usuel). La valeur et pertinence de cette généralisation de la supergéométrie résulte de ses nombreuses applications: en mathématiques -- l’algèbre de Deligne des superformes différentielles, l’algèbre des quaternions H et les algèbres de Clifford en sont des exemples -- et même en physique -- paraparticules, anyons. Dans ce travail, nous traitons tout d’abord l’aspect algébrique: les notions de trace et de (super)déterminant pour des matrices à coefficients dans une algèbre graduée-commutative sont définies et étudiées (en particulier leurs charactérisations axiomatiques sont prouvées). Une attention particulière est porté au cas des algèbres de Clifford: ce point de vue ‘gradué’ fournit une nouvelle approche au problème classique de trouver un “bon” déterminant pour des matrices à coefficients non-commutatifs (quaternioniques). En outre, nous entreprenons l’étude de la géométrie différentielle (Z_2)^n-graduée. Privilégiant l’approche par les espaces annelés, les (Z_2)^n-supervariétés (lisses) sont définies en choisissant l’algèbre (Z_2)^n-commutative des séries formelles en variables graduées comme modèle pour leur faisceau de fonctions. La théorie est par la suite développée dans le sens de la supergéométrie. Les résultats les plus marquants ainsi obtenus sont: le Berezinien gradué et son interprétation cohomologique (essentielle pour établir une théorie de l’intégration); le théorème des morphismes, attestant qu’on peut rétablir un morphisme entre (Z_2)^n-supervariétés à partir de sa seule expression sur les coordonnées; l’analogue du théorème de Batchelor-Gawedzki pour les (Z_2)^n-supervariétés lisses