Cartes aléatoires et serpent brownien

The first part of this thesis concerns the area of random maps, which is a topic in between probability theory, combinatorics and statistical physics. Our work complements several results of convergence of various classes of random maps to the Brownian map, which is a random compact metric space. More precisely, we prove that the scaling limit of a map which is uniformly distributed over the class of rooted planar maps with n edges, equipped with the graph distance rescaled by (2n)^(−1/4), is, in the Gromov-Hausdorff sense, the Brownian map. To establish this result, the main arguments are the use of a combinatorial bijection between bipartite maps and multitype trees, together with convergence theorems for Galton-Watson multitype trees. We then aim to develop an excursion theory for Brownian motion indexed by the Brownian tree. Analogous to the Itô excursion theory for Brownian motion, each excursion corresponds to a connected component of the complement of the zero set of the tree-indexed Brownian motion, and the excursion is defined as a process indexed by a continuous tree. We explain how to measure the length of the boundary of these excursions, in a way that the collection of these lengths coincides with the collection of jumps of a continuous-state branching process with a 3/2-stable branching mechanism. Moreover, conditionally on the boundary lengths, the excursions are independent and their conditional distribution is determined in terms of an excursion measure that we introduce and study. In this work, the Brownian snake appears as a particularly important tool.La première partie de cette thèse s’inscrit dans le domaine des cartes aléatoires, qui est un sujet à la frontière des probabilités, de la combinatoire et de la physique statistique. Nos travaux complètent une série de résultats de convergence de différents modèles de cartes aléatoires vers la carte brownienne, qui est un espace métrique compact aléatoire. Plus précisément, on montre que la limite d’échelle d’une carte de loi uniforme sur l’ensemble des cartes biparties enracinées à n arêtes, munie de la distance de graphe renormalisée par (2n)^(−1/4), est, au sens de Gromov–Hausdorff, la carte brownienne. Pour prouver ce résultat, les arguments importants sont d’une part l’utilisation d’une bijection combinatoire entre cartes biparties et arbres multitypes, et d’autre part des théorèmes de convergence pour les arbres de Galton–Watson multitypes étiquetés. Dans un deuxième temps, le but est de présenter une théorie des excursions pour le mouvement brownien indexé par l’arbre brownien. De manière analogue à la théorie d’Itô des excursions pour le mouvement brownien, chaque excursion correspond à une composante connexe du complémentaire des zéros du mouvement brownien indexé par l’arbre, et l’excursion est définie comme un processus indexé par un arbre continu. On explique comment mesurer la longueur de la frontière de ces excursions, de sorte que la famille de ces longueurs coïncide avec les sauts d’un processus de branchement à temps continu de mécanisme de branchement stable d’indice 3/2. De plus, conditionnellement aux longueurs des frontières, les excursions sont indépendantes et leur loi conditionnelle est déterminée à l’aide d’une mesure d’excursion explicite que l’on introduit et décrit. Dans ce travail, le serpent brownien apparaît comme un outil particulièrement important