Répartition des fonctions Q-additives le long des carrés de polynômes sur un corps fini

International audienceLet F be a finite field with q elements (q odd), Q is an element of F[T] and f an integer valued completely Q-additive function. The goal of this work is to study the exponential sums Sigma d(eg X<N)(X is an element of F[T]) exp(2 pi i alpha f (X-2)) for alpha is an element of H. In particular, this study provides a necessary and sufficient condition on f under which, for any (a, m) is an element of N x N*, we have card{X is an element of A vertical bar deg X < N, f (X-2) equivalent to a (mod m)} = q(N)/m O(q((1-h)N)), with 0 < h < 1.Soit F un corps fini à q éléments (q impair), Q F [T ] et f une fonction complètement Q-additive à valeurs entières. L'objet de ce travail est l'étude des sommes d'exponentielles _XF[T]X<N(2if(X^2)) pour R. Nous en déduisons en particulier une condition nécessaire et suffisante portant sur f pour que, pour tout (a,m) NN^*, on ait cardX AX < N, f(X^2)a(modm)=q^Nm+O(q^(1-h)N), avec 0<h