ON SOME ANALYTICAL PROPERTIES OF STABLE DENSITIES

L.Bondesson [1] conjectured that the density of a positive α-stable distribution is hyperbolically completely monotone (HCM in short) if and only if α ≤ 1/2. This was proved recently by P. Bosch and Th. Simon, who also conjectured a strengthened version of this result. We disprove this conjecture as well as a correlated conjecture of Bondesson, while giving a short new proof of the initial conjecture, as a direct consequence of a new algebraic property of HCM and Generalized Gamma convolution densities (GGC in short) which we establish.L.Bondesson a conjecturé que la densité d'une variable aléatoire α-stable positive est hyperboliquement completement monotone (HCM) si et seulement si α ≤ 1/2. Ce résultat a ´ eté récemment etabli par P.Bosh et Th.Simon qui ont aussi conjecturé une version plus forte de ce résultat. Nous infirmons celle-ci ainsi qu'une autre conjecture de L. Bondesson. Nous donnons aussi une courte et nouvelle preuve de la conjecture initiale, comme conséquence directe d'une nouvelle propriété algébrique des fonctions HCM et des densités gamma généralisées (GGC) que nous etablissons