Numeričko modeliranje oštećenja u heterogenim materijalima primjenom gradijentne deformacijske teorije

Prevention of the damage phenomenon in the structural components has always been a major criterion for keeping the longest possible working lifetime of the engineering systems and thus the minimization of the financial expenses due to maintenance, as well as for the safety of the people who benefit from such systems. In recent times, the need for keeping the track of the damage is even higher as a demand towards lighter, thinner and smaller designing solutions is rapidly increasing, where the very rigorous reliability and safety requirements need to be satisfied. In addition, new production technologies enable the manufacturing of the novel material solutions that provide exceptional exploitation characteristics, but can be very susceptible to failure due to very complex microstructures, where, from the engineering point of view, the initiation of the damage takes place. In order to reduce the amount of classical experiments to assess the structural integrity, various numerical models for the description of the material degradation are developed to this end. Due to importance of the microstructure in the damage development, multiscale models capable of consideration of such phenomena present an important modeling tool, but still need to be developed more for the commercial use. Regarding the modeling of damage at one scale only, classical continuum theory cannot be employed due to inconsistencies in the mathematical model that eventually lead to incorrect numerical results. Most of the available damage models take into account the influence of the microstructure by enhancing the constitutive relations with the measurement of the internal length scale, which serves as a strain localization limiter and prevents the dependency of the numerical results on the discretization. Although most of the models based on this, so called nonlocal continuum, can prevent the aforementioned numerical artefacts when damage is considered, there are still some difficulties that can arise when the internal length scale is kept constant, leading to nonphysical or spurious growth of the damage. Herein, a damage model for quasi-brittle materials embedded into the two dimensional C1 continuity triangular finite element formulation based on the strain gradient continuum theory is considered. The isotropic damage law is applied to the higher-order stress-strain constitutive model, which enables the analysis of both homogeneous and heterogeneous materials. Such softening formulation also ensures a decrease of the intensity of the material nonlocality associated with the damage growth, which is necessary for the correct description of the narrow localized deformation. In order to obtain the required constitutive matrices, the second-order homogenization procedure is applied to the various representative volume elements in the frame of a multiscale approach. The derived finite element formulation is implemented into the finite element program ABAQUS by means of UEL subroutine. The superior regularization capabilities, as well as the accuracy and efficiency of the proposed higher-order gradient damage model are demonstrated by the standard benchmark examples. In the multiscale modeling of damage several obstacles are present of which still some have to be resolved, especially when computational homogenization is applied as a method for scale transitioning. Namely, generally a higher-order continuum has to be used at the macrolevel, while in the presence of the sharp localization zones at the microstructural level, macrostructural response is dependent on the size of the RVEs used. Physically, inconsistencies can arise in such conditions between the strain fields of two structural levels, which is known as the violation of the scale separation. In the thesis, previously developed multiscale scheme which utilizes the higher-order continuum at both structural levels is modified for the consideration of the damage at the microlevel. Effects of the microlevel damage formation can be observed through the degradation of the homogenized tangent stiffness tensors, which then govern the localization at the larger structural level. Finite element based on the Aifantis theory of gradient elasticity is adapted for the softening analysis and its capabilities are tested on the random RVE for several different loading cases. Additionally, in order to prove the necessity for the higher-order continuum at the macroscale, which is in this case generalized Aifantis theory, scale transition methodology where classical continuum is employed at the macrolevel is developed. Therein, rather than strains and strain gradients, only the strain tensors contribute to the formation of the RVE boundary displacements, while the stiffness tensors that carry the nonlocal characteristics cannot be transferred at the macrolevel. Both multiscale schemes are tested on a standard benchmark example and compared with the one-scale damage model solution for the case of the homogenous microstructure, when only a mild and diffused localization is observed. In order to capture the loss of structural integrity of the macrostructural integration point when sharp localization is formed across an RVE, a specific conditions which detect the completely formed localization zone are developed. Finally, the capabilities of the presented C1-C1 multiscale scheme to capture the effects of the sharp localization at microlevel are demonstrated by few benchmark numerical examples.Novi i sve stroži zahtjevi na pouzdanost i sigurnost konstrukcija, zajedno s primjenom novih materijala i novih proizvodnih tehnologija, mogu jedino biti ostvareni korištenjem naprednih metoda numeričke strukturne analize i što realnijim opisom ponašanja materijala. Budući da u radnom vijeku određene konstrukcijske komponente može doći do pojave oštećenja, potrebno je znati opisati njeno ponašanje sve do potpunog gubitka mehaničkog integriteta, odnosno loma. Većina inženjerskih materijala nakon određene deformacije počinje pokazivati postepeno smanjenje krutosti ili takozvano popuštanje što je direktna posljedica degradacijskih procesa na razini atomske rešetke. Kako je numeričko modeliranje procesa koji se zbivaju na toj razini još uvijek neprikladno sa stajališta računalnog vremena, oštećenje se u odgovarajući numerički algoritam najčešće uvodi kao set kontinuiranih makroskopskih varijabli koje nose informaciju o stanju materijala na nižim prostornim skalama, odnosno u njima je implicitno sadržano stanje mikrostrukture. Popuštanje se može istovremeno odvijati s pojavom plastičnosti što je slučaj kod duktilnih materijala kao što su razni čelici, a u slučaju izostanka plastičnosti govori se o popuštanju kvazi-krhkih materijala poput perlitne matrice u nodularnom lijevu koji se često javlja u mehaničkim konstrukcijama, betona, keramike i nekih vrsta ojačanih kompozita. Oštećenje je u inženjerskim materijalima izrazito nehomogeno i lokalizirano. Mikropukotine se stvaraju na mjestima koncentracije naprezanja i njihov je naknadni rast u ograničenom području koje je malo u usporedbi sa cijelom konstrukcijskom komponentom. Pojava popuštanja koja nastaje kao posljedica oštećenja uvijek je popraćena velikim gradijentima deformacije na način da se deformacija lokalizira u području gdje se popuštanje odvija. U teoriji klasičnog kontinuuma popuštanje može dovesti do lokalnog gubitka eliptičnosti diferencijalnih jednadžbi koje opisuju proces deformiranja. Matematički gledano, modul materijalne tangentne krutosti pri ulasku u fazu popuštanju prestaje biti pozitivno definitan što rezultira lošom uvjetovanošću cjelokupnog problema, posljedica čega je nemogućnost konvergencije numeričkih rješenja prema fizikalno smislenom rješenju. Pritom se deformacija, promatrano u okviru metode konačnih elemenata, lokalizira u samo jedan konačni element ili najtanji sloj konačnih elemenata, a disipacijska energija teži k nuli. Očuvanje eliptičnosti diferencijalnih jednadžbi koje opisuju proces deformiranja u fazi popuštanja, ili takozvana regularizacija problema lokalizacije deformacije, moguća je primjenom mehanike kontinuuma višeg reda. Njome se, za razliku od klasične mehanike kontinuuma, preko parametra unutarnje duljinske skale u obzir uzimaju i mikrostrukturne interakcije koje se mogu opisati na više različitih načina. Primjenom mikropolarne teorije ili poznatije Cosseratove teorije, materijalne čestice dobivaju dodatan rotacijski stupanj slobode neovisan o polju pomaka. Time se veoma uspješno rješavaju problemi gdje je smik dominantan način deformiranja tako da pri čistom vlaku pristup ne funkcionira. Viskoplastična teorija u konstitutivni model uključuje ovisnost brzine promjene deformacije, odnosno viskozne efekte, no ona daje dobre rezultate samo ako je lokalizacijska zona unaprijed poznata. U novije vrijeme sve se češće primjenjuju metode temeljene na nelokalnom ponašanju materijala, tako da naprezanje u nekoj točki kontinuuma ne ovisi samo o deformaciji i ostalim varijablama stanja u toj točki, već i o deformacijama i ostalim varijablama stanja točaka koje ju okružuju. U osnovi razlikuju se dva različita pristupa pri opisivanju nelokalnog modela, integralni i gradijentni pristup. Integralni pristup temeljen je na prostornom osrednjavanju varijabli stanja, najčešće deformacija, u konačnoj blizini određene točke, što naposljetku dovodi do veoma složenih konstitutivnih relacija sastavljenih od integrala konvolucijskog tipa. Gradijentni pristup proširuje konstitutivnu relaciju ili samo gradijentima deformacije ili gradijentima deformacije i njihovim konjugiranim veličinama, što se odnosi na takozvanu punu gradijentnu teoriju. U slučaju proširenja samo gradijentima deformacije, do sada su kod proučavanja lokalizacije i popuštanja najčešće korištene implicitne i nešto rjeđe eksplicitne gradijentne formulacije. Problemi razmatrani u literaturi vezani su za elastično ponašanje materijala, plastično ponašanje materijala, ili se dotiču analize širenja elastičnih valova. Mišljenja su da eksplicitna gradijentna formulacija u model unosi takozvanu slabu nelokalnost budući da je ekvivalentna nelokalna deformacija izražena najčešće samo preko ekvivalentne lokalne deformacije i njenog drugog gradijenta, što proizlazi odbacivanjem viših članova razvoja lokalne ekvivalentne deformacije u Taylorov red. Implicitna formulacija s druge strane unosi takozvanu jaku nelokalnost jer kod nje nelokalna deformacija nije eksplicitno izražena preko članova lokalne deformacije, već je dana kao rješenje problema rubnih vrijednosti čime su zapravo zadržani odbačeni članovi višeg reda u slučaju eksplicitne formulacije. Zbog različitih karaktera dviju gradijentnih formulacija nužan je i različit pristup u numeričkoj implementaciji, pa tako korištenje eksplicitne formulacije zahtijeva uporabu konačnih elemenata C1 kontinuiteta, dok se implicitna formulacija najčešće rješava konačnim elementima C0 kontinuiteta temeljenim na mješovitoj formulaciji. Iako su C0 konačni elementi u osnovi jednostavniji od konačnih elemenata C1 kontinuiteta, upitno je postiže li se uvođenjem mješovite formulacije bolja numerička učinkovitost. Usprkos tome što se implicitnom gradijentnom formulacijom mogu dobiti rješenja neovisna o gustoći i usmjerenju mreže, u literaturi je prijavljeno nekolika slučajeva u kojima dolazi do nefizikalnog širenja oštećenja po računalnom modelu. Opisana pojava karakteristična je i za integralne i za gradijentne pristupe klasičnog tipa, u kojima područje mikrostrukturnog međudjelovanja ostaje konstantno tijekom cijelog procesa opterećivanja. Kao što je objašnjeno u literaturi, navedena pretpostavka ima za posljedicu prijenos energije iz područja u kojoj se oštećenje odvija u susjedno područje koje elastično popušta. Na taj način dolazi do rasta oštećenja u područjima gdje ga fizikalno ne bi trebalo biti, te je onemogućeno stvaranje uskog pojasa lokalizacije deformacije. Problem je riješen uvođenjem modificiranih nelokalnih formulacija u kojima je veličina područja mikrostrukturnog djelovanja podložna promijeni tijekom procesa opterećivanja. Međutim, većina takvih formulacija opisuje povećanje navedenog područja s porastom oštećenja, što nije u skladu s fizikalnim procesom stvaranja makropukotine, gdje je situacija upravo suprotna, pogotovo u slučaju kvazi-krhkih materijala. Od nedavno sve više se razvija modeliranje putem takozvanog faznog polja, koje dijeli mnogo sličnosti s gradijentnim formulacijama po pitanju matematičke strukture. Iako se navedenim pristupom mogu dobiti u potpunosti regularizirana rješenja, kako bi se dobio točan razvoj faznog polja, odnosno oštećenja, potrebno je značajno povećati broj konačnih elemenata u području gdje se očekuje pojava pukotine, što naposljetku dovodi i do značajnog povećanja računalnog vremena. Drugi tip gradijentnog pristupa gdje u funkciju energije deformiranja ulaze i gradijenti deformacije zajedno s njihovim konjugiranim veličinama do sada je nešto rjeđe korišten, prvenstveno zato jer je složeniji za numeričku implementaciju. Prednost pune gradijentne teorije je jednostavnije opisivanje proizvoljne materijalne heterogenosti uvodeći u konstitutivne relacije vandijagonalne tangentne krutosti višeg reda, koje se mogu dobiti procesom homogenizacije na odgovarajućem reprezentativnom volumnom elementu (RVE-u). RVE predstavlja statistički reprezentativan uzorak materijala. Razmatranja problema oštećenja putem pune gradijentne teorije na jednodimenzijskim primjerima dovela su do zaključka kako dodatak naprezanja višeg reda doprinosi stabilizaciji pozitivne definitnosti tangentne krutosti prilikom ulaska u fazu popuštanja. Daljnja istraživanja s jednodimenzijskog na dvodimenzijski problem procesa lokalizacije i popuštanja provedena su primjenom bezmrežne EFG metode, gdje je formulacija ograničena samo na homogene materijale. U modeliranju procesa popuštanja heterogenih materijala važnu ulogu zauzimaju višerazinske metode kojima se omogućuje eksplicitno modeliranje mikrostrukture putem RVE-a, što je značajno budući da makrostrukturno ponašanje izravno proizlazi iz deformacijskih procesa na mikrorazini. Glavni izazov u višerazinskim metodama gdje se razmatra oštećenje na razini RVE-a je povezivanje razvoja mikroskopske lokalizacije deformacije ka stvaranju makroskopske pukotine. Taj je problem u literaturi tek djelomično riješen putem takozvanih tehnika lokalnog progušćivanja mreže konačnih elemenata. Primjerice, kod višemrežnih metoda ili metoda temeljenih na superpoziciji koristi se hijerarhijska podjela na makro- i mikostrukturne efekte na način da se makrostrukturna mreža lokalno prekrije diskretizacijom detaljno opisane mikrostrukture. Slično, metode dekompozicije domene temelje se na podijeli makrorazine materijala na nekoliko područja od kojih svako može imati različitu prostornu diskretizaciju s prikladnim unutarnjim duljinskim skalama, što omogućuje rješavanje problema lokalizacije uz smanjivanje računalnog vremena. Bitno je spomenuti kako su navedene tehnike lokalnog progušćivanja mreže efikasne jedino u slučaju blažih i manjih lokalizacijskih zona čiji se položaj mora znati unaprijed. Najveći napredak u višerazinskom modeliranju mikroskopske lokalizacije deformacije postignut je primjenom metoda računalne homogenizacije. Njihova velika prednost je u tome što na zahtijevaju poznavanje konstitutivnih pretpostavki na makrorazini, već se odaziv homogenog materijala određuje u toku analize rješavanjem problema rubnih uvjeta na RVE-ovima, od kojih je svaki povezan s odgovarajućom točkom integracije na makrorazini. Klasične tehnike homogenizacije temelje se na principu separacije skala, koji nalaže da bi veličina RVE-a trebala biti mnogo manja, nego karakteristična duljina preko koje se makroskopsko opterećenje mijenja u prostoru. Homogenizacijom prvog reda ne može se modelirati lokalizacija i popuštanje bez gubitka eliptičnosti osnovnih jednadžbi, dok je homogenizacija drugog reda pogodna tek za opisivanje umjerene lokalizacije koja nije u proturječju s principom separacije skala, odnosno dopušta lokalizaciju u makroskopskoj zoni koja je veća od veličine RVE-a. Budući da takav pristup nije pogodan za opisivanje snažnih lokalizacija unutar RVE-a, većina radova je posljednjih godina orijentirana pristupu kojim se kontinuum na makrorazini proširuje diskontinuitetom čime se omogućuje prijenos lokalizacije deformacije s mikrorazine u pukotinu na makrorazini. U sklopu tog pristupa u literaturi se može naći više različitih tehnika kojima se izračunava ekvivalentni diskontinuitet i odgovarajuća konstitutivna relacija odziva mikrostrukture. Sljedeći problem koji se javlja kod homogenizacijskih metoda gdje dolazi do oštre lokalizacije na mikrorazini je ovisnost makrostrukturnog odaziva modela o veličini RVE-a, na način da s povećanjem RVE-a dolazi do sve krućeg ponašanja materijala na makrorazini. U tom slučaju RVE gubi svoju reprezentativnost za odgovarajuću makroskopsku točku, te je stoga u literaturi prozvan mikrostrukturnim volumnim elementom (MVE). Postojanje RVE-a u kojem dolazi do primjetne lokalizacije deformacije potvrđeno je u literaturi putem tehnike temeljene na homogenizaciji konstitutivne relacije samo iz lokalizacijskog pojasa, što je naknadno ugrađeno i u shemu računalne homogenizacije za modeliranje diskretne makroskopske pukotine. Usprkos trenutnom intenzivnom istraživanju u navedenom području, još uvijek je ostalo mnoštvo otvorenih pitanja pri prijenosu varijabli stanja s mikrorazine na makrorazinu. Potrebno je povećati točnost i numeričku učinkovitost predloženih postupaka. Cilj istraživanja u prvom dijelu disertacije je razvoj modela oštećenja temeljenog na teoriji gradijentnih deformacija, u kojoj u energiji deformiranja gradijenti deformacije sudjeluju zajedno s njihovim energijski konjugiranim veličinama. Očekuje se da će se primjenom teorije kontinuuma višeg reda uspjeti eliminirati nefizikalan razvoj oštećenja, tipično povezan s klasičnom implicitnom gradijentnom formulacijom koja je još uvijek jedna od najčešće primjenjivanih metoda za modeliranje oštećenja. Također, konstitutivno ponašanje materijala modelirat će se na način koji uključuje smanjivanje unutarnje duljinske skale s porastom oštećenja, čime će se numerički opisati stvaran proces koji prethodi stvaranju makropukotine. Budući da konstitutivne relacije koji proizlaze iz teorije gradijentnih deformacija omogućuju razmatranje mikrostrukturnih heterogenosti, razmotrit će se i mogućnosti modeliranja oštećenja heterogenih materijala. Pritom će se inicijalni, elastični konstitutivni tenzori izračunavati primjenom računalne homogenizacije drugog reda na odgovarajućem RVE-u, a analiza popuštanja će se potom odvijati isključivo na makrorazinskom modelu. Drugi dio istraživanja usmjeren je na razvoj nove metode za numeričko modeliranje oštećenja u heterogenim materijalima primjenom višerazinskih algoritama temeljenih na teoriji gradijentnih deformacija. Razmotrit će se mogućnosti modeliranja oštećenja putem višerazinskog algoritma pri kojem su obje materijalne razine opisane kontinuumom višeg reda, koji uključuje primjenu diskretizacije C1 kontinuiteta i podrazumijeva nelokalno ponašanje materijala. Očekuje se da će se na taj način eliminirati problemi u opisivanju lokalizacije povezani s diskretizacijom i na makro- i na mikrorazini. Za homogenizaciju varijabli s mikrorazine koristit će se klasična homogenizacija drugog reda, pri čemu će doprinos biti sadržan u formulaciji pomoćnog algoritma za prepoznavanje gubitka strukturnog integriteta RVE-a. Hipoteze istraživanja su sljedeće: 1. Moguće je modelirati pojavu oštećenja u materijalu primjenom prostorne diskretizacije temeljene na metodi pomaka. Predložena nova formulacija pokazat će prednosti u odnosu na dosadašnju primjenu diskretizacije temeljene na mješovitoj formulaciji. 2. Primjenom postupka homogenizacije u okviru višerazinskih algoritama moguće je postići veću točnost pri modeliranju oštećenja u heterogenim materijalima od one koja se postiže dosadašnjim formulacijama koje se nalaze u literaturi. Poznato je kako klasična mehanika kontinuuma ne može objektivno opisati problem lokalizacije deformacije zbog matematičke nekonzistentnosti modela koja se počinje javljati s popuštanjem materijala. Razvojem materijalnih nestabilnosti dolazi do pojave gubitka pozitivne definitnosti tangentne krutosti, što za posljedicu ima gubitak eliptičnosti jednadžbi ravnoteže te stvaranje loše uvjetovanog problema rubnih vrijednosti. U takvim okolnostima može doći do nestabilnog razvoja oštećenja što naposljetku dovodi do nefizikalnog ponašanja materijala, što se kod diskretizacije konačnim elementima očituje u ovisnosti numeričkih rezultata o gustoći i usmjerenju mreže. Također, oštećenje u takvom razvoju situacije lokalizira u najmanji mogući konačni element ili najtanji sloj konačnih elemenata. U ovome radu izveden je matematički konzistentan kontinuumski model oštećenja koji može realistično opisati iniciranje i naknadni razvoj oštećenja. Nefizikalno ponašanje materijala povezano s korištenjem modela oštećenja temeljenih na klasičnoj mehanici kontinuuma, odnosno lokalnom pristupu, u radu je uklonjeno uvođenjem nelokalnog ponašanja materijala putem kontinuuma višeg reda. U nelokalnim modelima važnu ulogu ima parametar unutarnje duljinske skale, koji opisuje veličinu područja mikrostrukturnih međudjelovanja i koji služi za ograničavanje lokalizacije deformacije, i to na način da sprječava pojavu diskontinuiteta pomaka i osigurava neometan razvoj oštećenja. Kontinuum višeg reda opisan je pomoću teorije gradijentnih deformacija, pri čemu je unutarnja duljinska skala uključena u model preko konstitutivnih tenzora višeg reda, a nelokalno ponašanje uvedeno je gradijentnim članovima što proizlaze iz polja pomaka. Iako su gradijenti s matematičke