Da teoria à prática em contexto escolar

O Teorema do Limite Central garante que o único modelo estável para somas com variância finita é o modelo normal. Esta noção de estabilidade tornou mais fácil a modelação de fenômenos aditivos, uma vez que a acumulação de informação, sob a forma de mais parcelas, apenas nos faz mudar a localização e a escala, mas permanecemos no mesmo modelo. Contudo, a convergência de somas para uma normal dá-se quando nenhuma das parcelas tem um papel preponderante, ou seja, quando as caudas da distribuição subjacente tem um peso moderado, que é explicitado através da exigência da existência de segundo momento. Esta situação altera-se quando as estatísticas ordinais extremais têm algum protagonismo, o que acontece se o modelo distribucional de base tiver caudas pesadas. Neste trabalho investigamos o comportamento distribucional de somas e de estatísticas ordinais extremais, em particular do máximo. Obtemos a distribuição exata de algumas somas de variáveis aleatórias reais independentes e do máximos de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Analisamos o comportamento assintótico das estatísticas ordinais centrais, regido pelo Teorema do Limite Central, e das estatísticas ordinais extremais, nomeadamente do máximo, regido pelo Teorema Limite Extremal. Enquadramos alguns dos assuntos abordados, como a média amostral e as distribuições amostrais, no ensino, com a análise das dificuldades dos alunos nestes temas e a análise dos programas de Matemática do ensino secundário e de uma unidade curricular de um curso de formação de professores de Matemática em Angola.The Central Limit Theorem guarantees that the only stable model for sums with finite variance is the normal model. This notion of stability has made it easier to model additive phenomena, since accumulating information in the form of more terms only makes us change the location and the scale, but we remain in the same model. However, the convergence of sums to a normal distribution occurs when no terms have a preponderant role, in other words, when the tails of the underlying distribution have a moderate weight, which is explained by the requirement of the existence of second moment. This situation changes when extreme ordinal statistics play a key role, which happens if the underlying distributional model is heavy tailed. In this work we investigate the distributional behavior of sums and extreme ordinal statistics, maximum in particular. We obtain the exact distribution of some sums of independent real random variables and independent and of maximum of identically distributed random variables. We analyze the asymptotic behavior of central ordinal statistics, governed by the Central Limit Theorem, and the extremal ordinal statistics, namely maximum, governed by the Extremal Types Theorem. We put into teaching context some of the subjects discussed, such as the sample mean and sampling distributions, by analyzing students difficulties in these subjects and the Mathematic programs of secondary school and a curricular unit of a teacher training course of Mathematics in Angola