Sobre produtos cruzados e equivalência de Morita

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2013Nesse trabalho estudamos a teoria de equivalência de Morita-Rieffel para álgebra de operadores por uma perspectiva geral e a aplicamos para entender produtos cruzados para ações de grupos compactos em C*-álgebras. Nós apresentamos quatro formas diferentes para especificar um contexto de equivalência de Morita entre C*-álgebras e consideramos alguns exemplos conhecidos para ilustrá-la. A C*-álgebra produto cruzado A×?G proveniente de um sistema dinâmico (A,G,?) é definida como o completamento de Cc(G,A) com respeito a uma certa norma universal naturalmente associada ao sistema dinâmico. Mostramos que as representações do produto cruzado estão em correspondência biunívoca com as representações covariantes do sistema. A teoria de representações da $C^*$-álgebra produto cruzado caracateriza-a, à menos de isomorfismo, mas é geralmente difícil de calculá-la explicitamente. Nosso objetivo principal, nessa direção, é apresentar alguns teoremas de equivalência de Morita que nos permitirão entender produtos cruzados a menos de equivalência de Morita em casos especiais. Em particular, mostramos que o produto cruzado A×?G em que ? é ação de um grupo compacto G sobre uma C*-álgebra A é Morita equivalente à álgebra de ponto fixo AG se a ação for saturada. Aplicamos, após, esse contexto de equivalência de Morita para provar o Teorema Simétrico de Imprimitividade para ações saturadas de grupos compactos que relaciona, via uma equivalência de Morita, os produtos cruzados para ações comutativas de dois grupos compactos.Abstract : In this work we study operator algebra Morita-Rieffel equivalence from a general perspective and apply it to the understanding of crossed products for actions of compact groups on C*-algebras. We present four different forms to specify a Morita equivalence context between C*-algebras and consider some standard examples to illustrate it. The crossed product C*-algebra A×?G attached to a dynamical system (A,G,?) is defined as the completion of Cc(G,A) with respect to a certain universal norm naturally associated to the dynamical system. The representations of the crossed product are shown to be in bijective correspondence with covariant representations of the system. The representation theory of the crossed product C*-algebra characterizes it up to isomorphism, but it is generally difficult to compute it explicitly. Our main goal is this direction is to present some Morita equivalence theorems that enable us to understand crossed products up to Morita equivalence in certain special cases. In particular we show that the crossed product A×?G for an action of a compact group G on a C*-algebra A is Morita equivalent to the fixed point algebra AG provided the action is saturated. We then apply this Morita equivalence context to prove the Symmetric Imprimitivity Theorem for saturated compact group actions which relates, via a Morita equivalence, the crossed products of commuting actions by two compact groups