Analyse sous-différentielle : la théorie des sous-gradients

Comme on le sait, en mathématiques et surtout en théorie de l'optimisation, on rencontre de façon très naturelle des fonctions qui ne sont différentiables dans aucun sens traditionnel. Ce travail a pour but de présenter les principaux résultats de l'analyse sous-différentielle. Ceci nous permettra, entre autres, de développer des conditions d'optimalité nécessaires dans les problèmes de minimisation avec ou sans contraintes. Tout au long de ce travail, nous aurons l'occasion d'utiliser les ensembles convexes et les fonctions convexes. Ainsi au deuxième chapitre, nous verrons quelques unes des notions d'analyse convexe indispensables à la bonne compréhension de ce travail. Outre les fonctions et ensembles convexes, on parlera du polaire et de la fonction d'appui d'un ensemble. Au troisième chapitre, nous étudierons la sous-différentielle de fonctions convexes. Nous y présentons les résultats bien connus de Rockafellar en analyse convexe et on verra que pour de telles fonctions, il existe une théorie de la sous-différentiation très satisfaisante. Afin de rendre la présentation et la lecture des chapitres cinq et six plus simple, nous avons regroupé au chapitre quatre divers cônes qu'on utilise abondamment dans ces chapitres. Ainsi nous verrons la notion de cônes: contingent, hypertangent, tangent intérieur et tangent. Nous présentons diverses caractérisations de ces cônes et leurs principales propriétés. Au cinquième chapitre nous présentons les résultats de Clarke concernant la sous-différentielle de fonctions localement lipschitziennes. Nous aurons l'occasion d'étudier la dérivée directionnelle de Clarke et on verra également la très importante notion de fonctions directionnellement lipschitziennes. Le chapitre six concerne la sous-différentielle de fonctions non­localement lipschitziennes et non convexes. Nous y étudierons la très récente dérivée directionnelle généralisée de Rockafellar (ce qui nécessite l'introduction d'un nouveau concept de limite) et on verra quelques résultats de Penot sur la sous-différentielle inférieure