Vidanges fortes d'ordre deux... un pas de plus!

Une vidange est un processus stochastique que l'on peut relier à une urne dans laquelle on effectue des tirages successifs sans remise selon un algorithme de tirage associé à un graphe pondéré G. Cette urne contient autant de couleurs différentes qu'il y a de sommets dans le graphe G. De plus, le nombre de boules de chaque couleur contenues dans l'urne est proportionnel au poids associé au sommet correspondant dans le graphe G. L'algorithme de tirage que nous considérons est défini comme suit: pour tout entier n non négatif, la (2n + 1) ième boule est tirée au hasard et ce, sans remise; si la (2n + 1) ième boule tirée est de. couleur i, alors. la (2n + 2) ième boule est tirée au hasard et sans remise parmi les boules de couleur j, j E J, où J est l’ensemble des indices des sommets de G adjacents à i; lorsqu'il n'y a plus de boule de couleur adjacente à celle de la (2n + 1) ième boule tirée, le tirage s'arrête. Nous supposerons vérifiée une condition exprimant une certaine stabilité quant à la taille relative des nombres de boules de chaque couleur lorsque ces nombres augmentent indéfiniment. En notant N.i le nombre de boules de. couleur i et N le nombre total de boules contenues dans l'urne, cette condition est de la forme: " tous les N.l tendent simultanément vers l'infini et (formule donnée) pour tout l, pour tout N " où {J1, J2, ... , Jt} représente une partition de l'ensemble des sommets du graphe G et où les ki sont des nombres réels fixés strictement positifs. Nous dirons qu'une vidange est forte si la proportion du nombre de boules que l'on peut tirer de l'urne, selon l'algorithme de tirage, par rapport au nombre total· de boules contenues initialement dans l'urne converge en probabilité vers l'unité, lorsque ce nombre tend vers l'infini. Nous nous intéresserons donc à la détermination de conditions suffisantes d'obtention de vidanges fortes associées à l'algorithme de tirage précité