Estudo e implementação do método Dogleg para programaçã não linear

TCC (graduação) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Curso de Matemática.Neste trabalho, estaremos interessados em resolver problemas de programac¸ ˜ao n˜ao linear irrestritos. Os m´etodos de Cauchy e de Newton s˜ao m´etodos cl´assicos em otimizac¸ ˜ao que buscam por minimizadores locais para estes problemas. O m´etodo de Cauchy ´e um m´etodo com convergˆencia global por´em muito lento. Por outro lado, o m´etodo de Newton ´e muito r´apido quando partimos de um ponto pr´oximo a um minimizador de f , no entanto, ele diverge facilmente. Como forma de unir o que h´a de melhor nestes dois m´etodos, surge o m´etodo de regi˜ao de confianc¸a, que busca resolver, em cada iterac¸ ˜ao, o problema de minimizar f em uma regi˜ao “confi´avel”. No presente trabalho, apresentaremos como um subproblema do m´etodo de regi˜ao de confianc ¸a, o m´etodo dogleg, que busca uma soluc¸ ˜ao aproximada do problema de minimizar um modelo quadr´atico da variac¸ ˜ao de f , em relac¸ ˜ao a um ponto dado, em uma certa regi˜ao de confianc¸a. O m´etodo dogleg trabalha bem com func¸ ˜oes que tem a hessiana definida positiva; nos casos em que n˜ao temos isto, adotamos o passo de Cauchy. No primeiro cap´ıtulo, apresentaremos o problema de programac¸ ˜ao n˜ao linear irrestrito e as condic¸ ˜oes necess´arias e suficientes de otimalidade. No segundo, apresentaremos o m´etodo de Newton e o m´etodo de Cauchy. O terceiro cap´ıtulo trar´a o m´etodo de regi˜ao de confianc¸a. Uma sec¸ ˜ao destinar-se-´a a apresentac¸ ˜ao do algoritmo para este m´etodo. No quarto cap´ıtulo faremos um estudo do m´etodo dogleg onde, tamb´em, mostraremos o algoritmo. No quinto, e ´ultimo, cap´ıtulo exibiremos os resultados obtidos atrav´es das implementac¸ ˜oes do m´etodo de regi˜ao de confianc¸a e do m´etodo dogleg no software MATLAB. Os arquivos utilizados para tais implementac¸ ˜oes ser˜ao mostrados no apˆendice A