Indices of pseudodifferential operators on open manifolds

We generalize Roe's Index Theorem for operators of Dirac type on open manifolds to elliptic pseudodifferential operators. To this end we first introduce a novel class of pseudodifferential operators on manifolds of bounded geometry which is more general than similar classes of pseudodifferential operators defined by other authors. We revisit Spakula's uniform K-homology and show that our elliptic pseudodifferential operators naturally define classes there. Furthermore, we use the uniform coarse assembly map to relate this classes to the index classes of these operators in the K-theory of the uniform Roe algebra and therefore establish a new and very fruitful link between uniform K-homology and Roe's Index Theorem. Our investigation of uniform K-homology goes on with constructing the external product for it and deducing homotopy invariance of uniform K-homology. The next major result is the identification of the dual theory of uniform K-homology: the uniform K-theory. We give a simple definition of uniform K-theory for all metric spaces and in the case of manifolds of bounded geometry we give an interpretation via vector bundles of bounded geometry over the manifold. This opens up the door for Chern-Weil theory and we define a Chern character map from uniform K-theory of a manifold of bounded geometry to its bounded de Rham cohomology. We introduce a type of Mayer-Vietoris argument for these uniform (co-)homology theories which enables us to show firstly, that the Chern character induces an isomorphism modulo torsion from the uniform K-theory to the bounded de Rham cohomology, and secondly, that we have Poincare duality between uniform K-theory and uniform K-homology if the manifold is spin-c. Poincare duality together with the relation of uniform K-homology to the index theorem of Roe mentioned above directly leads to a generalization of the index theorem to elliptic pseudodiffential operators. Finally, using homotopy invariance of uniform K-homology we derive important results about the uniform coarse Baum-Connes conjecture establishing it equally important as the usual coarse Baum-Connes conjecture.Wir verallgemeinern Roes Indexsatz für Operatoren vom Dirac-Typ auf offenen Mannigfaltigkeiten zu elliptischen Pseudodifferentialoperatoren. Dafür führen wir zuerst eine neue Klasse von Pseudodifferentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten beschränkter Geometrie ein, welche umfassender ist als ähnliche Klassen anderer Autoren. Wir rekapitulieren Spakulas uniforme K-Homologie und zeigen, dass elliptische Pseudodifferentialoperatoren auf natürliche Weise dort Klassen definieren. Weiterhin benutzen wir die uniforme, grobe Assembly-Abbildung, um diese Klassen mit den Indexklassen dieser Operatoren in der K-Theorie der uniformen Roe-Algebra in Verbindung zu bringen. Dies stellt einen neuen und sehr ergiebigen Zusammenhang zwischen uniformer K-Homologie und Roes Indexsatz her. Unsere Untersuchungen der uniformen K-Homologie münden in der Konstruktion des externen Produktes dafür und der Herleitung der Homotopie-Invarianz dieser Theorie. Das nächste Resultat dieser Arbeit ist die Identifikation der zur uniformen K-Homologie dualen Theorie: der uniformen K-Theorie. Wir geben für diese neue Theorie eine einfache Definition für alle metrischen Räume und im Falle von Mannigfaltigkeiten beschränkter Geometrie zeigen wir, dass man diese Theorie interpretieren kann mit Hilfe von Vektorbündeln beschränkter Geometrie über der Mannigfaltigkeit. Dies öffnet die Tür für Anwendungen der Chern-Weil-Theorie und wir definieren damit eine Chern-Charakter-Abbildung von der uniformen K-Theorie der Mannigfaltigkeit beschränkter Geometrie in ihre beschränkte de Rham-Kohomologie. Wir führen einen neuen Typ von Mayer-Vietoris-Sequenzen ein für diese uniformen (Ko-)Homologietheorien, welche es uns ermöglichen sowohl zu zeigen, dass der Chern-Charakter ein Isomorphismus modulo Torsion ist als auch, dass wir für spin-c-Mannigfaltigkeiten beschränkter Geometrie Poincare-Dualität zwischen uniformen K-Theorie und uniformer K-Homologie haben. Poincare-Dualität und der Zusammenhang zwischen uniformer K-Homologie und Roes Indexsatz führen direkt zu einer Verallgemeinerung von Roes Indexsatz auf elliptische Pseudodifferentialoperatoren. Und zuletzt ziehen wir unter Zuhilfenahme der Homotopie-Invarianz uniformer K-Homologie wichtige Resultate über die uniforme Baum-Connes-Vermutung, welche diese gleichwertig zur üblichen Baum-Connes-Vermutung stellen