On Lower Bounds of Second-Order Chord Power Integrals of Convex Discs

For planar convex bodies K with positive area A(K), boundary length L(bd K) and second-order chord power integral I2(K), we study the ratio L(bd K)I2(K)/A(K)*A(K) and give reasons supporting the conjecture that its uniform lower bound is 32/3 attained exactly for circles. In particular, using the Ambartzumian-Pleijel representation of I2(K) we derive formulas for I2(K) in case of general triangles, rectangles, and regular N-gons. In these cases and for ellipses we can prove this inequality. A related conjecture is formulated for the class of convex N-gons which exhibits a strengthening of the isoperimetric inequality as well as of Carleman's inequality for convex N-gons. An extension to higher dimensions is discussed at the end of the paper.Für ebene konvexe Scheiben (Eiflächen) K mit positivem Flächeninhalt A(K), Umfang L(bd K) und einem Sehnenpotenzintegral zweiter Ordnung I2(K) wird der Quotient L(bd K)I2(K)/A(K)*A(K) untersucht, und es werden Gründe angegeben, die die Vermutung stützen, dass dieser Quotient die untere Schranke 32/3 besitzt. Diese wird gerade im Falle von Kreisen angenommen. Unter Benutzung der Ambartzumian-Pleijel Darstellung von I2(K) werden geschlossene Formeln für I2(K) im Falle von allgemeinen Dreiecken, Rechtecken und regelmässigen N-Ecken hergeleitet. In diesen Fällen und für Ellipsen kann die Vermutung bewiesen werden. Eine diskrete Variante dieser Vermutung wird für konvexe N-Ecke formuliert, welche zugleich eine Verschärfung der isoperimetrischen als auch der Carlemanschen Ungleichung für konvexe N-Ecke darstellt. Eine Erweiterung auf höhere Dimensionen wird am Ende der Arbeit diskutiert