A Convergent Adaptive Uzawa Finite Element Method for the Nonlinear Stokes Problem

Subject of this dissertation is the formulation of a convergent adaptive Uzawa algorithm (AUA) for the numerical solution of the nonlinear stationary Stokes problem. For this purpose, we reformulate the Stokes equations into a saddle-point problem, which is equivalent to minimizing a functional $\mathcal{F}$ relative to the pressure. The basic idea behind the AUA is the method of the steepest descent direction, which is equivalent to the Uzawa method in the linear case. The nonlinear Poisson equation results as a subproblem. Based on a posteriori error estimators for the so-called quasi-norm a linearly convergent adaptive finite element method (AFEM) is stated for the numerical solution of this problem. The AFEM is used to compute a reasonable approximation to the quasi-steepest descent direction and finally convergence of the AUA is proved.Ziel dieser Arbeit ist es, einen konvergenten adaptiven Uzawa Algorithmus (AUA) zum numerischen Lösen der Nichtlinearen stationären Stokes Gleichungen anzugeben. Dazu formulieren wir das Stokes Problem in ein Sattelpunkt Problem um, das wiederum equivalent ist zur Minimierung eines Funktionals $\mathcal{F}$ bezüglich des Drucks. Die zentrale Idee des AUA ist die Methode des steilsten Abstiegs, die im linearen Fall equivalent zum sogenannten Uzawa Algorithmus ist. Als ein Hilfsproblem resultiert daraus die nichtlineare Poisson Gleichung. Diese kann mit Hilfe von a posteriori Fehlerschätzern für die sogenannte Quasi-Norm durch eine linear konvergente adaptive finite elemente Methode (AFEM) approximiert werden. Die AFEM wird dann benutzt um die quasi steilste Abstiegsrichtung zu approximieren. Damit kann dann die Konvergenz des AUA gezeigt werden