Rigorous Numerical Enclosures for Control Affine Problems

Computing reachability sets is part of the analysis of control systems. Several numerical algorithms are known, which approximate the solution of initial value problems. But their approximation error is not known in practice. In 1988 Lohner developed an algorithm to enclose the trajectories of ODEs using interval arithmetics. With the power series expansions of the solution and of the right hand side recursions for computing the coefficients of the solution are given. In this thesis we develop an appropriate algorithm to control affine systems. Because of the in general non-smooth right hand side Taylor series are not enough. They are replaced by Fliess-expansions with coefficients determined by the Lie-derivatives of the right hand side. In order to perform arithmetic operations on Fliess-expansions we introduce multi-indices and analyse their properties. Then the product of two Fliess-expansions can be performed on their multi-index level. This operations make possible to insert Fliess-expansions into the right hand side and to compare their coefficients. Therefor the uniqueness of finite Fliess-expansions is used. Its proof is given in the terms of this thesis. This results in recursions for the solutions coefficients and for enclosing the remainder term. In the case of initial intervals instead of initial values all solutions can be enclosed by the rigorous linearisation. The motivation and application is given by the subdivision algorithms for computing attractors of Dellnitz, Junge and Szolnoki. There the algorithm is used to compute reachability sets of full dimensional intervals for small time steps rigorously.Ein Teilproblem der Analyse von Kontrollsystemen ist die Berechnung von Erreichbarkeitsmengen. Dafür ist eine Reihe approximativer numerischer Verfahren bekannt. In der Praxis ist ihre Qualität allerdings nur schwer zu beurteilen. Mit den Methoden der Intervall-Arithmetik wurde von Lohner (1988) ein Verfahren vorgestellt, um Trajektorien gewöhnlicher Differentialgleichungen einzuschließen. Dabei werden mit Hilfe von Reihenentwicklung der Lösung und der rechten Seite Rekursionen zur Berechnung der Koeffizienten der Lösung entwickelt. Des weiteren werden rigorose Grenzen für das Restglied gegeben. Ziel der Arbeit ist es nun einen entsprechenden Algorithmus für kontroll-affine Systeme zu entwickeln. Für die im Allgemeinen nicht glatte rechte Seite von Kontrollsystemen reichen Taylorreihen nicht mehr aus. An ihre Stelle treten nun Fliessreihen, deren Koeffizienten durch die Lie-Ableitungen der Vektorfelder der rechten Seite bestimmt werden. Um mit Fliessreihen rechnen zu können, werden Multi-Indizes und ihre Eigenschaften analysiert. Im Wesentlichen kann das Produkt zweier Fliessreihen auf der Ebene ihrer Multi-Indizes ausgeführt werden. Das ermöglicht nun das Einsetzen der Fliessreihen in die rechte Seite der Systemgleichung und damit den Koeffizentenvergleich mit der Lösung. Dabei wird die Eindeutigkeit endlicher Fliessreihen ausgenutzt, deren Beweis in diesem Kontext nochmals geführt wird. Somit entstehen Rekursionen für die Koeffizenten der Lösung und eine Einschließung für das Restglied. Ausgehend von einem Anfangsintervall lassen sich mittels rigoroser Linearisierung die Lösungen aller Anfangswertprobleme in einem Schritt einschließen. Als Anwendung und ursprüngliche Motivation gibt es die Subdivisionsalgorithmen zur Attraktorenberechnung von Dellnitz, Junge und Szolnoki. Der Algorithmus wird hierbei benutzt, um Erreichbarkeitsmengen von mehrdimensionalen Intervallen für kleine Zeitschritte rigoros zu bestimmen