Heterogeneous domain decomposition methods for coupled flow problems

The study of complex environmental processes as the transport of contaminants in water systems is receiving increasing attention due to higher quality standards. The classical approach is the coupled solution of momentum and transport equations. This involves the solution of the flow dynamics, i.e., the determination of the velocity field, which is used as the convective field in the transport equation. A problem of significant relevance in applications is the coupling of surface and subsurface flows. The need for more accurate models and efficient solvers opens a whole research area were Applied Mathematics plays a key role. Water flow above a porous medium is an important but still not solved problem. The difficulties stem from several factors: i) The subsurface flow is not well defined as long as no good interface transmission conditions are specified. ii) Higher order terms in general Navier/Stokes flows, namely inertial and viscous terms, are not present in the Darcy flow. This thesis attempts to contribute to some insight in this problem by considering coupled Stokes/Darcy flow. It presents a mathematical model for the coupled flow and a finite element approximation. In particular, emphasis is put on the development, analysis, and implementation of efficient solvers based on a heterogeneous domain decomposition methodology. This is a natural and rather flexible approach for the solution of problems which involve more than one operator on different (disjoint) regions of the domain. A theoretical and experimental analysis is performed. We investigate the dependence of the different algorithms with respect to model coefficients, domain geometry and boundary conditions, in order to evaluate feasibility and performance of the proposed schemes.Die Analyse von komplexen Unweltprozessen, z.B. der Transport von Schadstoffen im Grundwasser, erlangt aufgrund höherer Qualitätsstandards immer mehr Bedeutung. Der klassische Zugang ist die gekoppelte Lösung der Impuls- und Transportgleichungen. Dazu wird das Geschwindigkeitsfeld bestimmt, das dann als treibende Kraft für die Transportgleichung benutzt wird. Ein praktisch relevantes Beispiel ist die Kopplung von ober- und unterirdischen Wasserströmungen. Die Notwendigkeit für eine genaue Modellierung und die Entwicklung von effizienten Lösern eröffnet ein weites Forschungsgebiet, in dem die angewandte Mathematik eine Schlüsselrolle spielt. Die Schwierigkeiten kommen von mehreren Faktoren: a) Die unterirdische Strömung ist solange nicht wohldefiniert, wie keine guten Grenzschichtbedingungen angegeben werden. b) Die Terme höherer Ordnung, wie sie bei allgemeinen Navier-Stokes-Gleichungen auftreten, nämlich Reibungs- und Viskositätsterme, sind bei Darcy-Strömungen nicht vorhanden. In dieser Arbeit gehen wir von einer Kopplung von Darcy- und Stokes- Strömungen aus. Sie entwickelt ein mathematisches Modell für die gekoppelten Strömungen und deren Finite Elemente Approximation. Besonderen Wert wird auf die Entwicklung, Analyse und Implementation von effizienten Lösern gelegt, die auf heterogenen Gebietszerlegungsmethoden basieren. Dies ist ein natürlicher und flexibler Zugang zur Lösung von Problemen mit mehreren Operatoren, die auf verschiedenen, disjunkten Gebieten definiert sind. Eine theoretische und numerische Analyse wurde durchgeführt. Wir untersuchen die Abhängigkeit von unterschiedlichen Algorithmen in Bezug auf die Modellparameter, die Geometrie des Gebiets und die Randbedingungen, um die Realisierbarkeit, Zuverlässigkeit und Geschwindigkeit der vorgestellten Methoden zu zeigen