The phase transition in random graphs and random graph processes

Zufallsgraphen sind Graphen, die durch einen zufälligen Prozess erzeugt werden. Ein im Zusammenhang mit Zufallsgraphen häufig auftretendes Phänomen ist, dass sich die typischen Eigenschaften eines Graphen durch Hinzufügen einer relativ kleinen Anzahl von zufälligen Kanten radikal verändern. Wir betrachten den Zufallsgraphen G(n,p), der n Knoten enthält und in dem zwei Knoten unabhängig und mit Wahrscheinlichkeit p durch eine Kante verbunden sind. Erdös und Rényi zeigten, dass ein Graph für p = c/n und c 1 enthält G(n,p) mit hoher Wahrscheinlichkeit genau eine Komponente mit Theta(n) Knoten, welche viel größer als alle anderen Komponenten ist. Dieser Punkt in der Entwicklung des Graphen, an dem sich die Komponentenstruktur durch eine kleine Erhöhung der Anzahl von Kanten stark verändert, wird Phasenübergang genannt. Wenn p = (1+epsilon)/n, wobei epsilon eine Funktion von n ist, die gegen 0 geht, sind wir in der kritischen Phase, welche eine der interessantesten Phasen der Entwicklung des Zufallsgraphen ist. In dieser Arbeit betrachten wir drei verschiedene Modelle von Zufallsgraphen. In Kapitel 4 studieren wir den Minimalgrad-Graphenprozess. In diesem Prozess werden sukzessive Kanten vw hinzugefügt, wobei v ein zuällig ausgewählter Knoten von minimalem Grad ist. Wir beweisen, dass es in diesem Graphenprozess einen Phasenübergang, und wie im G(n,p) einen Doppelsprung, gibt. Die zwei anderen Modelle sind Zufallsgraphen mit einer vorgeschriebenen Gradfolge und zufällige gerichtete Graphen. Für diese Modelle wurde bereits in den Arbeiten von Molloy und Reed (1995), Karp (1990) und Luczak (1990) gezeigt, dass es einen Phasenübergang bezüglich der Komponentenstruktur gibt. In dieser Arbeit untersuchen wir in Kapitel 5 und 6 die kritische Phase dieser Prozesse genauer, und zeigen, dass sich diese Modelle ähnlich zum G(n,p) verhalten.Random graphs are graphs which are created by a random process. A common phenomenon in random graphs is that the typical properties of a graph change radically by the addition of a relatively small number of random edges. This phenomenon was first investigated in the seminal papers of Erdös and Rényi. We consider the graph G(n,p) which contains n vertices, and where any two vertices are connected by an edge independently with probability p. Erdös and Rényi showed that if p = c/n$ and c 1, then with high probability G(n,p) contains exactly one component, called the giant component, with Theta(n) vertices, which is much larger than all other components. The point at which the giant component is formed is called the phase transition. If we let $p = (1+epsilon)/n$, where epsilon is a function of n tending to 0, we are in the critical phase of the random graph, which is one of the most interesting phases in the evolution of the random graph. In this case the structure depends on how fast epsilon tends to 0. In this dissertation we consider three different random graph models. In Chapter 4 we consider the so-called minimum degree graph process. In this process edges vw are added successively, where v is a randomly chosen vertex with minimum degree. We prove that a phase transition occurs in this graph process as well, and also that it undergoes a double jump, similar to G(n,p). The two other models we will consider, are random graphs with a given degree sequence and random directed graphs. In these models the point of the phase transition has already been found, by Molloy and Reed (1995), Karp (1990) and Luczak (1990). In Chapter 5 and 6 we investigate the critical phase of these processes, and show that their behaviour resembles G(n,p)