Inversió d'automorfismes sobre grups

L'objectiu del treball és poder mesurar la màxima diferència que hi ha entre la norma d'un automorfisme d'un grup finitament generat $G$ i la norma del seu invers. Per fer-ho construirem normes pels grups $G$, Aut $G$ i Out $G$, que ens permetran definir, per a qualsevol grup finitament generat $G$, dues funcions de complexitat $\alpha_G$ i $\beta_G$ que mesuraran en funció de la norma dels automorfismes, respectivament de l'outer automorfisme, la pitjor inversió possible (i.e. la norma de l'automorfisme invers més gran possible). Ens centrarem especialment en els grups lliures $F_r$ de rang $r$, separant el cas de $r=2$ de la resta de rangs. Pel cas $r=2$ trobarem el caràcter assimptòtic de $\alpha_2$ i l'expressió exacte de $\beta_2$. Per $r \geq 3$ aconseguirem cotes inferiors polinomials per $\alpha_r$ i $\beta_r$ i una cota superior per $\beta_r$ també polinomial. A la part final del treball estudiarem el grup lliure abelià que encara no havia estat tractat i trobarem el caràcter assimptòtic de $\alpha_r$