Elastische Konstanten und Verschiebungsfelder in Kristallen mit Punktdefekten

Obwohl die Ursprünge der Elastizitätstheorie bis ins Jahr 1678 zu Robert Hooke zurückreichen, gibt es selbst im 21. Jahrhundert noch offene fundamentale Fragen auf diesem Gebiet. Die mikroskopische Definition des Verschiebungsvektors ist ungültig, wenn man Kristalle mit Punktdefekten, wie zum Beispiel Leerstellen oder Zwischengitteratome, betrachtet. Dagegen ist die Existenz eines Verschiebungsfeldes sicher gestellt, wie man an phänomenologischen Gleichungen der Hydrodynamik erkennen kann. Ein Hauptresultat dieser Arbeit ist nun eine Definition des mikroskopischen Verschiebungsfeldes, die im Rahmen der linearen Antworttheorie und des Zwanzig-Mori Projektionsoperator-Formalismus abgeleitet wird. Als wichtigste physikalische Eigenschaft des Systems erweist sich in diesem Zusammenhang die Periodizität der Gleichgewichtsdichte, sowie die Symmetrie der Zweipunkts-Korrelationsfunktion der Dichtefluktuationen. Als weiteres Hauptergebnis wurden mikroskopische Ausdrücke für die elastischen Konstanten als Funktion der direkten Korrelationsfunktion des Kristalls bestimmt. Dabei wurde insbesondere auf die Unterschiede zwischen der Beschreibung mit verschiedenen unabhängigen Variablen eingegangen, also bei konstanter Teilchenzahldichte sowie bei konstanter Defektdichte.Im ersten Kapitel wird das physikalische System mit den relevanten Eigenschaften vorgestellt, sowie die theoretischen Methoden aus der Nichtgleichgewichts-Statistischen Physik. Die phänomenologischen Gleichungen der verallgemeinerten Hydrodynamik eines Kristalls werden wiederholt, bevor auf die mikroskopische Theorie (lineare Antworttheorie und Zwanzig-Mori Projektionsoperator-Formalismus) eingegangen wird, die, aufgrund Onsagers Regressionshypothese, im hydrodynamischen Limes die Gleichungen der linearen Hydrodynamik reproduzieren. Der Vorteil dieser Methode ist, dass mikroskopische Ausdrücke für die phänomenlogischen Parameter zur Verfügung stehen.Im zweiten Kapitel, dem Hauptkapitel, wird dieses Verfahren auf einen Kristall angewendet. Zunächst wird die Wahl der Fourierkomponenten der Dichte als hydrodynamische Variablen durch das Bogoliubov-Argument begründet und die benötigten Matrixelemente des Formalismus bestimmt. Dabei wird die Ornstein Zernike Gleichung der Dichtefunktionaltheorie zusammen mit der Symmetrie der Zweipunkts-Korrelationsfunktion der Dichtefluktuationen angewendet. Um mit den "konventionellen" hydrodynamischen Variablen eines Kristalls vergleichen zu können, stellt sich die Frage, wie die Fourierkomponenten der Dichte mit dem Verschiebungsfeld und der Defektdichte (bzw. der hydrodynamischen Dichtefluktuation) zusammenhängen. Dies wird erreicht über Wellengleichungen für die Impulsdichte und das Verschiebungsfeld. Aus Vergleichen mit der prinzipiellen Struktur der hydrodynamischen Gleichungen (bekannt aus der Phänomenologie) ergibt sich eine Definition des Verschiebungsfeldes und der hydrodynamischen Dichtefluktuation. Ein von diesen Definitionen unabhängiges Ergebnis sind Ausdrücke, die die elastische Antwort eines Kristalls beschreiben.Im dritten Kapitel werden die hydrodynamischen Gleichungen detailliert diskutiert. Aus der Invarianz unter einer globalen Translation erhält man die Abhängigkeit vom Wellenvektor im hydrodynamischen Limes, während die Invarianz unter einer globalen Rotation Symmetrien ergibt, die den makroskopischen Voigt-Symmetrien der Elastizitätstheorie entsprechen. Der explizite Ausdruck für die elastischen Konstanten wird abgeleitet, und mit bekannten Ausdrücken (Ableitungen des Kristallpotentials) verglichen.Im vierten Kapitel wird auf die Definition des Verschiebungsfeldes eingegangen. Dabei werden alternative Motivationen präsentiert, die zur Definition des Verschiebungsfeldes führen. Eine Beschreibung basiert auf der Kontinuumsmechanik, der andere auf einer Ähnlichkeit zu sogenannten Blochfunktionen. Im letzten Teil dieses Kapitels wird eine erste Anwendung der Definition des Verschiebungsfeldes gezeigt und mit bekannten Resultaten verglichen.Da insbesondere Kapitel 2 sehr knapp gehalten wurde, ist der Anhang umfangreicher ausgefallen. In Anhang A wird der Formalismus mit den konventionellen hydrodynamischen Variablen des Kristalls wieder gegeben. In Anhang B werden unter einschränkenderen Annahmen als im Hauptteil Ausdrücke für die freie Energie und eine verallgemeinerte dynamische Matrix abgeleitet. Im letzten Anhang C wird eine Verallgemeinerung des Strukturfaktors von Flüssigkeiten zu Kristallen, sowie auf eine entsprechende Verallgemeinerung der Kompressibilität eingegangen