A Case Study on Understanding of the Concept of Parameter

학위논문 (석사)-- 서울대학교 대학원 : 수학교육과, 2015. 2. 유연주.문자기호의 의미 있는 이해는 대수적 추론의 근본적인 요소 중 하나에 해당된다. 그러나 맥락에 따라 다양한 역할을 갖는 문자기호에 대한 학습은 학생들에게 어려움을 발생시킬 수 있다. 특히, 일반화수단으로서 매개변수는 고등 대수적 추론과 함수학습을 위해 필수적인 문자기호임에도 불구하고 학교대수에서 소극적·암묵적으로 다루어지고 있고, 또한 우리나라의 대수도입방식은 형식적·구조적 접근방식을 취하고 있어 문자기호에 내재된 아이디어를 제대로 이해할 수 있도록 지도되고 있지 않다. 실제로, 여러 선행연구는 학생들이 매개변수개념에 대한 이해의 어려움을 겪는다고 보고하고 있다. 이는 학생들이 매개변수개념을 의미 있게 이해할 수 있도록 지원하는 다른 접근방식에 대해 고찰해볼 필요성을 부각시킨다. 본 연구의 목적은 매개변수개념에 대해 의미 있는 이해로 나아갈 수 있도록 지원하는 학습조건을 찾는데 있다. 이에 대해, 본 연구자는 매개변수개념과 대수의 패턴일반화 접근방식에 관한 여러 문헌분석을 바탕으로 매개변수개념에 대한 의미를 구성할 수 있도록 하는 시각적 패턴과제를 설계하였다. 이로부터 한 교실을 사례로 선정하여 이 과제를 해결해 나가는 동안 학생들에게 일어나는 사고과정과 어려움의 양상을 분석하고, 실제로 학생들이 매개변수개념을 의미 있게 이해하는지를 살펴봄으로써 개발된 과제로부터 매개변수개념의 학습의 유의미성을 판단하고자 하였다. 과제를 성공적으로 해결한 학생들의 사고과정을 분석한 결과, 매개변수를 변수와 구별하여 인식할 수 있었고, 분석적 사고가 용이하게 이루어졌으며, 다양한 측면에서 관점의 전환이 유연하게 이루어지는 것이 확인되었다. 반면, 개인적으로 과제를 적절하게 해결하지 못한 학생들은 다른 문자기호들 사이에 역할을 인식하거나 구별하는데 어려움을 겪었고, 구체적인 수에서 용이하게 진행된 식의 구성절차를 대수에서는 제대로 연결시켜나가지 못했다. 이러한 연구결과로부터 매개변수개념의 이해를 위해 기본적으로 요구되는 사고조건으로 다른 역할의 문자기호의 인식, 분석적 사고 및 관점의 전환과 같은 사고요소를 발견하였다. 한편, 과제를 해결하는데 어려움을 겪는 학생들이 동료들과의 상호작용을 통해 그 어려움을 극복하는 과정에서 전형적인 예는 효과적으로 작용하였고, 구체화와 추상화 활동이 서로 엮이는 가운데 그 개념에 대한 이해로 나아갈 수 있었다. 본 연구는 매개변수개념의 의미 있는 이해를 위해 활용할 수 있는 학습 자료로 시각적 패턴과제에 비롯하여 일어날 수 있는 잠재적인 학습조건을 이해하고자 하였다. 설계된 과제를 기반으로 개별적으로 혹은 다른 동료들과의 상호작용을 통해 매개변수개념에 대해 의미 있는 이해로 나아갈 수 있다는 것이 확인되었다. 본 연구는 시각적 패턴과제가 매개변수에 대한 개념학습에서 가질 수 있는 잠재력과 제한점을 보여준다는 점에서 그 의의를 찾을 수 있다.A meaningful understanding of literal symbols is one of the fundamental elements of algebraic reasoning. However, learning about the literal symbols that play a different role depending on the context may cause difficulties to students. Although parameters as means of generalization are essential for advanced algebraic reasoning and learning of functions, those have been dealt implicitly in school algebra. Also, since introduction of algebra takes formal and structural approach in our nation's school curriculum, it is not being taught to understand implicit ideas in literal symbols authentically. In fact, several previous studies have reported that the students have difficulties in understanding of the concept of parameter. This highlights a need for different approaches to help students understand the concept of parameter meaningfully. The purpose of this study is to find learning conditions that promote meaningful understanding about the concept of parameter. The author designed several visual pattern tasks that can be used to form the concept of parameter after analyzing literatures about learning of parameters and the patterns generalization approach to algebra. A classroom as a case has been analyzed for the aspects of thinking processes and difficulties that occurred to the students solving this task. According to the analysis of the thinking process of the students who had solved the tasks successfully, they could recognize variables and parameters distinctively and were able to think analytically. Also, it was identified that they changed the viewpoints flexibly for the different aspects of parameters. On the other hand, the students who were not successful in solving the tasks had trouble recognizing different roles of literal symbols in algebraic formula, and could not construct algebraic expressions including parameters even though they could apply proper procedures for specific cases. The author concluded that the conditions for understanding of the concept of parameter are as following: recognition different roles of literal symbols in algebraic expressions including parameters, analytical thinking, and flexibility to change viewpoints for the different aspects of parameters. Meanwhile, in the process that the students were overcoming the difficulties in understanding the concept of parameter through interaction with colleagues, generic examples worked effectively. Also, as two activities, such as concretization and abstraction, were mixed up with each other, they could move on to understanding on the concept of parameter. This study was to understand the potential learning conditions that may occur from visual pattern tasks as learning materials that can be utilized for meaningful understanding of parameters concept. It was identified that the students were able to move on to meaningful understanding of the concept of parameter through interactions with peers or individually from designed tasks. This study shows potential of visual pattern tasks and limitations that may appear in learning of the concept of parameters.국문초록 ⅰ 목차 ⅲ 표 목차 ⅵ 그림 목차 ⅷ I. 서론 1 1. 연구의 필요성 1 2. 연구의 목적 및 연구문제 7 II. 이론적 배경 8 1. 수학적 개념의 본질 9 1.1. 과정과 대상으로서의 수학적 개념 9 1.2. 수학적 개념의 발달 메커니즘 12 2. 매개변수개념 14 2.1. 학교대수에서 대수의 도입방식 14 2.2. 매개변수의 역사적 발달 20 2.3. 매개변수의 정의 25 2.4. 매개변수개념의 이해 31 3. 시각적 패턴일반화 35 3.1. 시각적 패턴탐구과제 35 3.2. 일반성을 보는 전략 37 3.3. 일반성을 표현하는 수단 39 III. 연구 방법 43 1. 연구 방법: 질적 사례 연구 43 2. 연구 절차 45 2.1. 연구참여자 45 2.2. 연구자로서의 교사 47 2.3. 과제설계 47 2.4. 수업운영 50 3. 자료수집 및 분석 56 3.1. 자료수집 56 3.2. 자료분석 57 IV. 연구결과 62 1. 산술적 탐구(문제1~문제5) 63 1.1. 처음패턴의 대수적 일반화와 구체화(문제1,2) 63 1.2. 대상 명칭의 상대성 인식(문제3) 64 1.3. 패턴화된 과정의 내면화(문제4,5) 67 2. 매개변수에 관한 탐구(문제6) 73 2.1. 매개변수의 인식의 어려움 73 2.2. 매개변수에 관한 과정-대상 쌍대적 접근 80 2.3. 전형적인 예의 역할 89 2.4. 구체화와 추상화활동에 의한 이해 91 2.5. 다른 문자기호에 대한 다른 역할 인식 93 V. 논의 및 결론 95 1. 논의 및 시사점 95 2. 요약 및 결론 100 참고문헌 104 [부록] 차시별 과제 115 ABSTRACT 120Maste