Tensor approximation and adaptivity within model order reduction

In this work we discuss and further develop two particular types of complexity reduction techniques: low-rank approximation and reduced basis methods. We will combine adaptive wavelet methods with both reduction techniques. First, we consider the general question of approximability. We show that eigenfunctions of a class of partial differential equations with a specific structure of the operator are low-rank approximable in a certain sense. Second, we examine the main tool for low-rank approximation: the singular value decomposition. This tool does not apply in Sobolev spaces – the prototypical solution spaces for partial differential equations in variational form. Thus, we investigate extensions of the singular value decomposition in Sobolev spaces. Third, we propose and analyze an adaptive wavelet Galerkin method for high-dimensional elliptic partial differential equations. We complement the theoretical findings with numerical experiments. Next, we turn to parameter-dependent partial differential equations. We extend classical reduced basis methods by allowing for adaptive snapshot computation in the offline phase. First, we show that the weak greedy algorithm terminates under certain conditions on the adaptive solve accuracy. Second, we introduce a wavelet error estimator for the exact error. Third, we demonstrate the utility and performance of the method with numerical experiments. We conclude by presenting a speculative idea combining concepts from low-rank approximation, reduced basis and adaptive approximation. We discuss the challenges encountered in realizing this scheme.Diese Arbeit behandelt und erweitert zwei Techniken zur Komplexitätsreduktion: Niedrigrangapproximation und reduzierte Basis Methoden. Beide Reduktionsmethoden werden mit adaptiven Waveletverfahren kombiniert. Zuerst wird die allgemeine Frage der Approximierbarkeit untersucht. Es wird gezeigt, dass Eigenfunktionen einer bestimmten Klasse von partiellen Differentialgleichungen in einem geeigneten Sinne approximierbar sind. An zweiter Stelle wird das Hauptwerkzeug der Niedrigrangapproximation - die Singulärwertzerlegung - näher untersucht. Die Singulärwertzerlegung ist nicht in Sobolevräumen anwendbar. Da Sobolevräume die Standardlösungsräume für partielle Differentialgleichungen sind, werden Erweiterungen der Singulärwertzerlegung in Sobolevräumen untersucht. Als Drittes stellen wir ein Verfahren zur numerischen Lösung von hochdimensionalen elliptischen Gleichungen vor und analysieren dieses. Die theoretischen Ergebnisse werden durch numerische Experimente ergänzt. Als Nächstes wenden wir uns parametrischer partieller Differentialgleichungen zu. Wir erweitern klassische reduzierte Basis Methoden, indem wir zulassen, dass der offline Snapshot adaptiv berechnet wird. Zuerst zeigen wir, dass das Weak Greedy Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen an die adaptive Lösungstoleranz terminiert. Als Zweites stellen wir einen Waveletschätzer für den exakten Fehler vor. An dritter Stelle wird der Nutzen und Leistung der eingeführten Methode anhand numerischer Beispiele verdeutlicht. Abschließend wird eine spekulative Idee vorgestellt, die die Konzepte aus Niedrigrangapproximation, reduzierte Basis Methoden und adaptiver Approximation vereint. Wir gehen auf die Schwierigkeiten ein, die bei der Realisierung dieses Ansatzes auftreten