Absolutely continuous spectrum of the Laplacian operator

Let $\Omega$ be a periodic waveguide in $\mathbb R^3$, we denote by $-\Delta_\Omega^D$ and $-\Delta_\Omega^N$ the Dirichlet and Neumann Laplacian operators in $\Omega$, respectively. In this work we study the absolutely continuous spectrum of $-\Delta_\Omega^j$, $j \in \{D,N\}$, on the condition that the diameter of the cross section of $\Omega$ is thin enough. Furthermore, we investigate the existence and location of band gaps in the spectrum $\sigma(-\Delta_\Omega^j)$, $j \in \{D,N\}$. On the other hand, we also consider the case where $\Omega$ is a twisting waveguide (bounded or unbounded) and not necessarily periodic. In this situation, by considering the Neumann Laplacian operator $-\Delta_\Omega^N$ in $\Omega$, our goal is to find the effective operator when $\Omega$ is ``squeezed''. However, since in this process there are divergent eigenvalues, we consider $-\Delta_\Omega^N$ acting in specific subspaces of the initial Hilbert space. The strategy is interesting because we find different effective operators in each situation. In the case where $\Omega$ is periodically twisted and thin enough, we obtain information on the absolutely continuous spectrum of $-\Delta_\Omega^N$ (restricted to that subspaces) and existence and location of band gaps in its structure.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)Seja $\Omega$ um tubo periódico em $\mathbb R^3$, denote por $-\Delta_D^\Omega$ e $-\Delta^N_\Omega$ os operadores Laplacianos de Dirichlet e Neumann em $\Omega$, respectivamente. Neste trabalho, estudamos o espectro absolutamente contínuo de $-\Delta^j_\Omega$, $j\in\{D,N\}$, sob a condição de que o diâmetro da seção transversal de $\Omega$ é suficientemente pequeno. Além disso, investigamos a existência e a localização de lacunas no espectro $\sigma(-\Delta^j_\Omega)$, $j\in \{D,N\}$. Por outro lado, também consideramos o caso em que $\Omega$ é apenas um tubo torcido (limitado ou ilimitado), não necessariamente periódico. Nesta situação, considerando o Laplaciano de Neumann $-\Delta^N_\Omega$ em $\Omega$, nosso objetivo é encontrar o operador efetivo quando $\Omega$ é ``espremido''. No entanto, já que neste processo existam autovalores divergentes, consideramos $-\Delta^N_\Omega$ atuando em subespaços específicos do espaço de Hilbert inicial. A estratégia é interessante porque encontramos operadores efetivos diferentes em cada situação. No caso em que $\Omega$ é periodicamente torcido e suficientemente fino, obtemos também informações sobre o espectro absolutamente contínuo de $-\Delta^N_\Omega$ (restrito a tais subespaços) e a existência e a localização de lacunas na sua estrutura do seu espectro