A transformação vetorial de Ribaucour para subvariedades de curvatura constante

In this work we obtain a reduction of the vectorial Ribaucour transformation that preserves the class of submanifolds with constant sectional curvature of space forms. As a consequence, a process is derived to generate a new family of such submanifolds starting from a given one. We prove a decomposition theorem for this transformation, from which the classical permutability theorem for the Ribaucour transformation of submanifolds with constant sectional curvature follows. Given k scalar Ribaucour transforms of a submanifold with constant sectional curvature, we prove the existence of a Bianchi k-cube all of whose vertices are submanifolds with the same constant sectional curvature, each of which is given by means of explicit algebraic formulas. A further reduction of the transformation is shown to preserve the class of Lagrangian submanifolds of dimension n and constant sectional curvature c of complex space forms of complex dimension n and constant holomorphic sectional curvature 4c. In particular, explicit parametrizations in terms of elementary functions of examples with arbitrary dimension and curvature are provided. A decomposition theorem and a version of the Bianchi cube for this transformation are also obtained.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)Neste trabalho, obtemos uma redução da transformação vetorial de Ribaucour que preserva a classe das subvariedades de curvatura seccional constante de formas espaciais. Como consequência, é obtido um processo para gerar uma nova família de tais subvariedades a partir de uma dada. Provamos um teorema de decomposição para tal transformação, do qual decorre, em particular, o teorema clássico de permutabilidade para a transformação de Ribaucour de subvariedades de curvatura seccional constante. Mostramos ainda que k tais transformadas escalares de uma subvariedade de curvatura seccional constante c determinam um único k-cubo de Bianchi cujos vértices são todos subvariedades com a mesma curvatura seccional constante, cada uma das quais é dada por meio de fórmulas algébricas explícitas. Uma redução adicional de tal transformação é obtida para a classe de subvariedades Lagrangianas de dimensão n e curvatura seccional constante c de uma forma espacial complexa de dimensão n e curvatura seccional holomorfa 4c. Em particular, parametrizações explícitas, em termos de funções elementares, de exemplos com dimensão e curvatura arbitrária são fornecidos. Novamente, um Teorema de decomposição e uma versão do cubo de Bianchi para tal transformação são apresentados