Multipartite entanglement and quantum algorithms

Quantum information science has grown from being a very small subfield in the 70s until being one of the most dynamic fields in physics, both in fundamentals and applications. In the theoretical section, perhaps the feature that has attracted most interest is the notion of entanglement, the ghostly relation between particles that dazzled Einstein and has provided fabulous challenges to build a coherent interpretation of quantum mechanics. While not completely solved, we have today learned enough to feel less uneasy with this fundamental problem, and the focus has shifted towards its potential powerful applications. Entanglement is now being studied from different perspectives as a resource for performing information processing tasks. With bipartite entanglement being largely understood nowadays, many questions remain unanswered in the multipartite case. The first part of this thesis deals with multipartite entanglement in different contexts. In the first chapters it is studied within the whole corresponding Hilbert space, and we investigate several entanglement measures searching for states that maximize them, including violations of Bell inequalities. Later, focus is shifted towards hamiltonians that have entangled ground states, and we investigate entanglement as a way to establish a distance between theories and we study frustration and methods to efficiently solve hamiltonians that exhibit it. In the practical section, the most promised upcoming technological advance is the advent of quantum computers. In the 90s some quantum algorithms improving the performance of all known classical algorithms for certain problems started to appear, while in the 2000s the first universal computers of few atoms began to be built, allowing implementation of those algorithms in small scales. The D-Wave machine already performs quantum annealing in thousands of qubits, although some controversy over the true quantumness of its internal workings surrounds it. Many countries in the planet are devoting large amounts of money to this field, with the recent European flagship and the involvement of the largest US technological companies giving reasons for optimism. The second part of this thesis deals with some aspects of quantum computation, starting with the creation of the field of cloud quantum computation with the appearance of the first computer available to the general public through internet, which we have used and analysed extensively. Also small incursions in quantum adiabatic computation and quantum thermodynamics are present in this second part.La informació quàntica ha crescut des d'un petit subcamp als anys setanta fins a esdevenir un dels camps més dinàmics de la física actualment, tant en aspectes fonamentals com en les seves aplicacions. En la secció teòrica, potser la propietat que ha atret més interès és la noció d'entrellaçament, la relació fantasmagòrica entre partícules que va deixar estupefacte Einstein i que ha suposat un enorme desafiament per a construir una interpretació coherent de la mecànica quàntica. Sense estar totalment solucionat, hem après prou per sentir-nos menys incòmodes amb aquest problema fonamental i el focus s'ha desplaçat a les seves aplicacions potencials. L'entrellaçament s'estudia avui en dia des de diferents perspectives com a recurs per realitzar tasques de processament de la informació. L'entrellaçament bipartit està ja molt ben comprès, però en el cas multipartit queden moltes qüestions obertes. La primera part d'aquesta tesi tracta de l'entrellaçament multipartit en diferents contextos. Estudiem l'hiperdeterminant com a mesura d'entrellaçament el cas de 4 qubits, analitzem l'existència i les propietats matemàtiques dels estats absolutament màximament entrellaçats, trobem noves desigualtats de Bell, estudiem l'espectre d'entrellaçament com a mesura de distància entre teories i estudiem xarxes tensorials per tractar eficientment sistemes frustrats. En l'apartat pràctic, el més prometedor avenç tecnològic del camp és l'adveniment dels ordinadors quàntics. La segona part de la tesi tracta d'alguns aspectes de computació quàntica, començant per la creació del camp de la computació quàntica al núvol, amb l'aparició del primer ordinador disponible per al públic general, que hem usat extensament. També fem petites incursions a la computació quàntica adiabàtica i a la termodinàmica quàntica en aquesta segona par