Exact Solution and Multifractal Analysis of a Multivariable Fragmentation Model

Most theoretical kinetic approaches proposed so far to describe fragmentation processes rely on the assumption that the fragments can be characterized by a unique relevant variable, for example their size or mass $h$. We investigate the consequences of introducing additional variables by considering a fragmentation model in which the fragments are described by two internal variables, $h,\,w$, and a breakup rate proportional to $h^\alpha w^\beta$. The exact solution, already partly presented in reference [1], is derived and discussed in details with an emphasis on the fragment distribution function. It is shown that, because of the random multiplicative nature of the process, non reduction to an effective one-variable problem is usually possible. The fragment mass distribution has no simple scaling properties; it rather exhibits multiscaling, a feature that is interpreted in the framework of a multifractal formalism.La plupart des approches théoriques cinétiques proposées jusqu'ici pour décrire les processus de fragmentation reposent sur l'hypothèse que les fragments peuvent être caractérisés par une seule variable pertinente, par exemple leur taille ou leur masse $h$. Nous examinons les conséquences de l'introduction de variables supplémentaires en considérant un modèle de fragmentation, dans lequel les fragments sont décrits par deux variables internes, $h,\,w$, et un taux de brisure proportionnel à $h^\alpha w^\beta$. La solution exacte, déjà partiellement présentée dans la référence [1], est dérivée et discutée en détails en mettant l'accent sur la fonction de distribution des fragments. On montre à cause de la nature aléatoire multiplicative du processus, qu'aucune réduction à un problème effectif à une variable n'est possible. La distribution de masse des fragments n'a pas de propriétés de lois d'échelles simples; il apparaît plutôt des échelles multiples, une caractéristique qui est interprétée dans le cadre du formalisme des échelles multiples