L'approximation de Thomas-Fermi associée a une formule des niveaux d'énergie arbitraire

A generalized Thomas-Fermi density is constructed as a functional approximation of the Hartree density. The Brillouin's method is applied to a one particle state density variationally derived from a given approximate one dimensional level formula n(Ek) = k ; n ≡ n[v] is a functional of ν = 2 m(E k - V/ħ2. A one to one correspondence is derived between a Thomas-Fermi-type theory and the related level formula. The WKB formula gives the usual Thomas-Fermi theory. The Kirzhnits and Golden theory is obtained from the Dunham formula (semi-convergent h2 expansion of n[ν]). We give the general formulas for the density, energy and free energy in the one and three dimensional case. More explicit results are obtained when n[ν] is restricted to be of the local type. The général theory satisfies the Kohn and Sham variational principle and the virial theorem. The density satisfies a functional integrability condition which generalise a result of Kirzhnits. The present theory is applied to a density approximation given by Swiatecki. This is a local type expression which does not satisfy the functionnal integrability condition. A modified form is established, associated to a new level formula, and equal to the Swiatecki's approximation when the potential satisfies the Laplace equation.On construit une densité générale du type Thomas-Fermi comme une approximation fonctionnelle de la densité d'Hartree. On utilise la méthode de Brillouin à partir de la densité à une particule qui dérive d'une formule approchée pour les niveaux d'énergie. Une correspondance biunivoque existe entre densité Thomas-Fermi et formule des niveaux. Celle de WKB donne la théorie Thomas-Fermi usuelle. On obtient celle de Kirzhnits et de Golden à partir de la formule de Dunham (développement en ħ2). On établit les formules générales pour la densité, l'énergie et l'énergie libre. On montre que le principe variationnel général de Kohn et Sham est satisfait, ainsi que la relation du viriel. La densité satisfait également une condition d'intégrabilité fonctionnelle qui généralise un résultat de Kirzhnits. On explicite les formules générales dans le cas où la formule des niveaux est du type local. On applique la théorie à une approximation de la densité due à Swiatecki. Celle-ci ne vérifiant pas la condition d'intégrabilité fonctionnelle (ni la relation du viriel) on établit une expression modifiée qui coïncide avec celle de Swiatecki quand le potentiel vérifie l'équation de Laplace. Elle dérive d'une nouvelle formule des niveaux, exacte jusqu'à l'ordre ħ2 inclus, et vérifie donc les propriétés générales énoncées plus haut