Model for the flow of a yield fluid through a porous medium

The study of the flow of a Newtonian fluid in a porous medium and the dispersion of markers has been the subject of numerous works after Taylor and Saffman. Characteristics of the flow of a non-Newtonian fluid have not been investigated as much. In this paper we attempt to generalize the Saffman modelling to the case of a Bingham fluid. The porous medium is assumed to be statistically homogeneous and isotropic. Dispersion is completely described by a lateral and a longitudinal dispersion coefficient. Pores are represented by monodispersed capillary tubes with an isotropic angular distribution. In the used mean field approximation, we show that the pressure gradient still satisfies the Laplace equation. The emergence of a critical angle in the orientation of the capillary tube is the consequence of the presence of the yield stress. The lateral dispersion stays Gaussian : the lateral dispersion coefficient is found to decrease with the increase of the yield stress. The longitudinal dispersion obeys an anomalous diffusion law. The longitudinal dispersion coefficient depends on an arbitrary cut-off time. For a given cut-off, a competition between spatial and temporal dispersion is evidenced. At the end, we demonstrate that the pore size distribution of a porous medium can be obtained from the characteristics of the flow of a Bingham fluid.L'étude de l'écoulement d'un fluide newtonien dans une matrice poreuse et la dispersion de marqueurs au cours de l'écoulement a fait l'objet de nombreux travaux depuis Taylor et Saffman. Les caractéristiques de l'écoulement d'un fluide non newtonien sont moins connues. On se propose de généraliser à un fluide de Bingham l'approche développée par Saffman. Le milieu poreux est supposé statistiquement homogène et isotrope. La dispersion est complètement décrite par les coefficients transverse et longitudinal. Les pores sont représentés par des capillaires rigides monodispersés dont la distribution angulaire est isotrope. On montre, dans l'approximation de champ moyen utilisée, que le gradient de pression satisfait encore à l'équation de Laplace. L'existence d'un seuil d'écoulement a pour conséquence l'émergence d'un angle critique au-delà duquel les pores sont exclus de l'écoulement. La dispersion latérale suit une loi de Gauss : le coefficient de dispersion diminue lorsque la contrainte seuil du fluide augmente. La dispersion longitudinale suit une loi anormale de diffusion : le théorème de la limite centrale ne s'applique plus. Le coefficient de dispersion dépend d'un temps de coupure arbitraire. Pour un temps de coupure donné, la compétition entre la dispersion spatiale et temporelle a été mise en évidence. Finalement, on démontre que la distribution en taille des pores d'un milieu poreux peut être obtenue à partir des caractéristiques de l'écoulement d'un fluide à seuil