Polynomial identities of representations of Lie algebras and growth of the codimensions

Orientador: Plamen Emilov KochloukovTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Neste trabalho apresentamos um estudo sobre identidades polinomiais de representações de álgebras de Lie, as quais são um caso particular das identidades fracas. Essas identidades estão relacionadas a pares da forma (A,L), onde A é uma álgebra associativa envolvente para a álgebra de Lie L. Primeiramente, obtemos uma caracterização dos ideais de identidades fracas com crescimento polinomial das codimensões em termos da sua sequência de cocaracteres, sobre um corpo de característica zero. Além disso, provamos que os pares (UT_2,UT_2^{(-)}), (E,E^{(-)}) e (M_2,sl_2) geram variedades de pares com crescimento quase polinomial. Aqui E denota a álgebra de Grassmann de dimensão infinita com unidade, UT_2 a subálgebra associativa de M_2 (matrizes 2 X 2 sobre um corpo K) formada pelas matrizes triangulares superiores e sl_2 a subálgebra de Lie de M_2^{(-)} composta pelas matrizes de traço zero. Em um segundo momento da tese, mostramos que toda variedade de pares de tipo associativo é gerada pelo envelope de Grassmann de um superpar finitamente gerado. Como consequência obtemos que toda variedade de pares especial, que não contém pares da forma (R,sl_2), é formada por pares com álgebra de Lie solúvel. Por fim, estabelecemos um exemplo de par que contradiz uma conjectura devida a Amitsur, a qual é válida no caso associativo, em alguns casos para álgebras de Lie e de Jordan, e em identidades de representações de álgebras de Lie de dimensão finitaAbstract: In this thesis we study polynomial identities of representations of Lie algebras, which are a particular case of weak identities. These identities are related to pairs of the form (A,L) where A is an associative enveloping algebra for the Lie algebra L. First we obtain a characterization of ideals of weak identities with polynomial growth of codimensions in terms of their cocharacter sequence, over a field of characteristic zero. Moreover we prove that the pairs (UT_2,UT_2^{(-)}), (E,E^{(-)}) and (M_2,sl_2) generate varieties of pairs with almost polynomial growth. Here E denotes the infinite dimensional Grassmann algebra with 1. Also UT_2 is the associative subalgebra of M_2 (the 2 X 2 matrices over the field K) consisting of the upper triangular matrices and sl_2 is the Lie subalgebra of M_2^{(-)} consisting of the traceless matrices. Second we show that any variety of pairs of associative type is generated by the Grassmann envelope of a finitely generated superpair. As a corollary we obtain that any special variety of pairs which does not contain pairs of type (R,sl_2), consists of pairs with a solvable Lie algebra. Finally we give an example of a pair that contradicts a conjecture due to Amitsur. The Amitsur's conjecture is valid in the associative case, and also in some classes of Lie and Jordan algebras, and in identities of finite dimensional representations of Lie algebrasDoutoradoMatematicaDoutor em Matemática140690/2017-4CNPQCAPE