Non-isothermal phase field model for two incompressible fluids : well-posedness with constant and thermo-induced viscosity and thermal conductivity

Orientador: Gabriela Del Valle PlanasTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Neste trabalho estudamos dois modelos não isotérmicos de interface difusa, os quais descrevem o movimento de dois fluidos viscosos incompressíveis. Os fluidos são assumidos como tendo densidades iguais, e a mesma viscosidade e condutividade térmica. O modelo consiste da equação de Navier-Stokes acoplada com a equação de campo de fase dada pela equação Allen-Cahn convectiva, e a equação do transporte de energia para a temperatura. No primeiro modelo assumimos que os coeficientes de viscosidade e condutividade térmicas são constantes. Nesse caso, provamos a existência de solução fraca global em dimensão dois e três, a existência e unicidade de solução forte global no caso de dimensão dois, e solução forte local no caso de dimensão três, sem qualquer restrição no tamanho dos dados iniciais. O segundo modelo é uma generalização do modelo anterior, onde a viscosidade e a condutividade térmica são dependentes da temperatura. Nesse caso, provamos a existência de solução fraca global e a existência e unicidade de solução forte global em dimensão dois, no caso em que a temperatura inicial é suficientemente pequena. Também, provamos a existência e unicidade de solução forte local em dimensão dois e três para qualquer dado inicialAbstract: In this work we studied a non-isothermal diffuse-interface model which describes the motion of a mixture of two viscous incompressible fluids. The fluids are assumed to have matched densities and the same viscosity and thermal conductivity. The model consists of modified Navier-Stokes equations coupled with a phase-field equation given by a convective Allen-Cahn equation, and energy transport equation for the temperature. In the first model we assume that the coefficients of viscosity and thermal conductivity are constants. In this case, we prove the existence of a global weak solution in two and three dimensions, the existence and uniqueness of the global strong solution in the two-dimensional case, and the local strong solution in the three-dimensional case, without any restriction on the size of the initial data. The second model is a generalization of the previous one, where the viscosity and the thermal conductivity are temperature dependent. In this case, we prove the existence of a global weak solution and the existence and uniqueness of strong global solution in dimension two, when the initial temperature is suitably small. Moreover, we prove the existence and uniqueness of local strong solution in two and three dimensions for any initial dataDoutoradoMatematicaDoutora em Matemática143214/2015-2CNPQCAPE