Construction of the numerical sets : from integer to hyperreal numbers

Orientador: Pedro José CatuognoDissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Este trabalho tem por objetivo fazer a construção dos conjuntos numéricos dos inteiros, racionais, reais e hiperreais. Para a construção dos números inteiros e racionais foi utilizado o livro "Números Reais" de Jorge Aragona. No caso dos números reais o livro "Principles of Mathematical Analysis" de W. Rudin e, para a construção dos números hiperreais o texto "An Introduction to Non-Standard Analysis" de I. Davis. Os textos foram utilizados para nortear esse trabalho, que também contempla os detalhes não feitos pelos autores citados. A construção dos conjuntos numéricos, em geral, apresenta características bem parecidas. A partir de um conjunto que serve como base, define-se um elemento que posteriormente será identificado com os elementos do conjunto a ser criado através de um isomorfismo. As construções dos inteiros, racionais e hiperreais feitas aqui utilizam classes de equivalência, o que não acontece na construção dos reais feita utilizando cortes de Dedekind, presente nesta dissertação. Além dos cortes de Dedekind, existem outras maneiras de construir os números reais. Cantor, por exemplo, fez a construção utilizando sequências de Cauchy, o que será comentado brevemente aqui. Além das construções apontadas acima, o último capítulo desta dissertação dá sugestões de como introduzir os tópicos estudados na matemática do Ensino Médio, com exemplos de atividades e trechos da história da matemática que podem ser utilizadosAbstract: The goal of this work is to make the construction of the numerical sets of the integer, rational, real and hyperreal numbers. For the construction of the integer and rational numbers it was used the book "Números reais" by Jorge Aragona. In the case of the real numbers it was used the book "Principles of Mathematical Analysis" by Walter Rudin and for the construction of the hyperreal numbers it was used the text "An introduction to the Non-Standard Analysis" by Isaac Davis. These texts were used to guide this work, which also includes details not made by these authors. The construction of numerical sets, in general, shows very similar characteristics. From a set, which serves as a base to define an element that will be identified as elements in a new set, which will be created through isomorphism. The constructions of integer, rational and hyperreal numbers made here use equivalence classes, which does not happen in the construction of the real numbers that were made using the Dedekind cuts, in this dissertation. In addition to Dedekind cuts, there are other ways to construct real numbers. Cantor, for instance, made the construction of real numbers using Cauchy sequences, which are going to be commented briefly here. Besides the construction mentioned above, the last chapter gives suggestions about how to introduce studied topics in the high school mathematics level, exemplifying activities and passages about mathematics history that can be usedMestradoMatemática em Rede NacionalMestra em MatemáticaCAPE