Existence and stability of periodic travelling waves for some dispersive models

Orientadores: Marcia Assumpção Guimarães Scialom, Jaime Angulo PavaTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação CientificaResumo: O objetivo da tese é estudar algumas propriedades de soluções de equações diferenciais dispersivas. Primeiro, estabelecemos uma teoria de boa colocação local e global para a equação de Benjamin-Ono regularizada no contexto peri'odico, depois mostramos que o problema de Cauchy para esta equação (em ambos os casos periódico e não periódico) não pode ser resolvido usando um esquema iterativo baseado na fórmula de Duhamel em espaços de Sobolev com índice negativo. Adicionalmente, apresentamos a prova da existência de uma curva suave de soluções ondas viajantes periódicas, para a equação Benjamin-Ono regularizada, via o Teorema do Somatório de Poisson, com período minimal 2L fixo. Também é mostrado que estas soluções são não linearmente estáveis no espaço de energia H1/2per por perturbações do mesmo período. Como uma extensão da teoria estabelecida para a equação Benjamin-Ono regularizada é provado que as soluções ondas periódicas associadas as equações Benjamin-Bona-Mahony, Benjamin-Bona-Mahony modificada e 4-Benjamin-Bona-Mahony são não linearmente estáveis em H1per. Finalmente, provamos a existência e estabilidade não linear de uma família de soluções ondas dnoidal associadas ao sistema de Zakharov. Neste último caso, para obter as propriedades espectrais requeridas na prova da estabilidade foi usada a teoria de Floquet.Abstract: The goal of this thesis is to study the properties of solutions of some dispersive differential equations. First, we develop a local and global well-posedness theory for the regularized Benjamin-Ono equation in the periodic setting, then, we show that the Cauchy problem for this equation (in both periodic and nonperiodic cases) cannot be solved by an iteration scheme based on the Duhamel formula for negative Sobolev indices. Additionally, a proof of the existence of a smooth curve of periodic travelling wave solutions, for the regularized Benjamin-Ono equation, with fixed minimal period 2L, is given. It is also shown that these solutions are nonlinearly stable in the energy space H1/2per by perturbations of the same wavelength. An extension of the theory developed for the regularized Benjamin-Ono equation is given and as examples it is proved that the periodic wave solutions associated to the Benjamin-Bona-Mahony, modified Benjamin-Bona-Mahony and 4-Benjamin-Bona- Mahony equations are nonlinearly stable in H1per. Finally, we prove the existence and the nonlinear estability of a family of dnoidal wave solutions associated to the Zakharov system. The Floquet theory is used in the last case to obtain the spectral properties required to prove the stability.DoutoradoMatematicaDoutor em Matemátic