Harmonic maps, holomorphic maps and (1-2)-sympletic metrics on flag manifolds

Orientador: Caio Jose Colleti NegreirosDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação CientificaResumo: O objetivo deste trabalho é estudar a relação existente entre holomorfia e harmonicidade de aplicações f : M 2 (IF; J; ds2? ), onde M 2 é uma superfície de Riemann compacta, orientável e IF é a variedade bandeira maximal. Para isto, apresentamos parte da teoria geral de aplicações harmônicas e holomorfas, necessária para demonstrar o teorema de Lichnerowicz. Uma de suas conseqüências é uma ferramenta importante neste estudo, pois fornece o seguinte critério: se f é J-holomorfa e ds2? é (1,2)-simplética, então f é harmônica. Portanto, também estamos interessados em descrever as métricas (1,2)-simpléticas nas variedades bandeira. Primeiramente, no caso geométrico, estudamos a variedade bandeira complexa maximal de subespaços encaixados IF(n). Posteriormente, este estudo é generalizado para outras variedades bandeiras maximais IF, definidas através de álgebras de Lie semi-simples complexas. Ainda, demonstramos o teorema de Burstall-Salamon, que fornece propriedades da estrutura quase complexa invariante J através de um torneio ?J associado. Finalmente, exibimos as equações de Cauchy-Riemann e de Euler-Lagrange para estas aplicações, e apresentamos exemplos de famílias de funções equi-harmônicasAbstract: The goal of this work is to study the relationship bettwen holomorphicity and harmonicity of maps f: M 2 (IF; J; ds2? ), where M 2 is a compact, orientable Riemann surface and IF is the full-flag manifold. With this pourpose, we present part of the general holomorphic/harmonic maps theory, which is necessary to prove the Lichnerowicz theorem.It states like consequence a criterion, which is an important tool in this study: if f is J-holomorphic and ds2? é (1,2)-symplectic, then f is harmonic. Therefore, we are interested in to describe (1,2)-symplectc metrics on the flag manifold.Firstly, in the geometrical case, we study the complex full-flag manifold IF(n). Later, we generalize this study to other full-flag manifolds IF, which is defined through complex semisimple Lie algebras. Also, we prove the Burstall-Salamon theorem, which gives some properties of the almost complex structure J through an associated tournament ?J. Finally, we show-up the Cauchy-Riemann equations and the Euler-Lagrange equations to this maps, and present examples of families of equi-harmonic mapsMestradoMestre em Matemátic