Une représentation 3D de la Transformée de Fourier Discrète

Dans cet article, on présente la forme augmentée d’un projet tuteuré proposé à des étudiants en DUT Réseaux et Télécoms (R&T) sur la Transformée de Fourier Discrète (TFD). Dans une première partie, on étudie le principal acteur de la TFD, l’exponentielle complexe WmnN = exp(-2iπmn/N) : on introduit une « représentation de Fresnel 3D » des coefficients WmnN qui conduit à des figures dans l’espace en forme d’« escalier en colimaçon ». Ces figures 3D exhibent clairement les symétries et propriétés des WmnN conduisant aux propriétés de la TFD. Dans un second temps, on effectue le même travail sur les produits s(n)WmnN pour un signal s(n) donné, dont la somme sur n conduit aux différents éléments X(m) de la TFD. D’une part, on observe sur les « escaliers » les propriétés usuelles et moins courantes de la TFD puis, comment la TFD « sélectionne » les fréquences caractéristiques du signal. D’autre part, on verra comment lire amplitude et phase pour une fréquence donnée et un signal donné, en particulier en présence d’un « retard ». Enfin, on indiquera les difficultés rencontrées par les étudiants et on fera un bref bilan des quelques projets déjà réalisés