A reta de Nagel : uma abordagem geométrica e algébrica de um alinhamento notável

Este trabalho tem por objetivo abordar conceitos importantes da Geometria Euclidiana a partir do estudo do triângulo e seus pontos notáveis, dando forma ao nosso objeto principal que é a Reta de Nagel e o círculo de Spieker. Buscamos com isso, estimular professores de matemática e alunos, em particular do ensino médio, a trabalharem em sala de aula com essa geometria, visando à melhoria dos processos de ensino e aprendizagem da matemática. Inicialmente abordamos conceitos introdutórios necessários ao nosso estudo, utilizando a Geometria Euclidiana Plana. Em seguida, exibimos os resultados que caracterizam os pontos notáveis do triângulo através das propriedades e conceitos vistos anteriormente e que são necessários à construção do nosso objeto de estudo. Mostramos um quadro comparativo entre as retas de Euler e Nagel, destacando suas principais propriedades e características. Com o objetivo de explorar novos conceitos, estendemos o nosso estudo tomando como base o artigo A Reta de Euler e a Circunferência de Nove Pontos dos autores Rojas e Mendoza. Abordamos a Geometria Afim, apresentando definições fundamentais básicas, formando uma linguagem necessária para falar sobre Álgebra Linear com enfoque em conceitos geométricos que são desenvolvidos e utilizados. Mostramos que a propriedade universal dos pontos no plano é fundamental para caracterizar os pontos notáveis de um triângulo. Utilizamos álgebra e métodos vetoriais em geometria, para obter as demonstrações e resultados relativos ao nosso objeto de estudo.This work aims to address important concepts of Euclidian Geometry originally from the study of the triangle and its remarkable points, giving shape to our main object which is the Nagel Point and the Spieker Circle. By that, we seek to stimulate maths teachers and students, particularly in high school, to work in the classroom with this geometry, aiming to improve the processes of teaching and learning of mathematics. Initially, we present necessary introductory concepts to our study, using Flat Euclidean Geometry. Then, we show the results that characterize the remarkable points of the triangle through the properties and concepts previously seen that are necessary to the construction of our object of study. We show a comparative picture between the Euler and Nagel straight lines, highlighting their main properties and characteristics. In order to explore new concepts, we extend our study by taking Euler’s Line and the Circumference of Nine Points of Tores Rojas and Mendoza. We approach Affine Geometry, presenting essential basic definitions, forming a necessary language to speak about Linear Algebra focusing on geometric concepts that are developed and used. We show that the universal property of points in the plane is fundamental for characterizing the remarkable points of a triangle. We use algebra and vector methods to obtain the statements and results related to our study object