Differentialgeometrie auf Punktmengenflächen

Die Krümmung stellt ein wichtiges Thema in der Graphischen Datenverarbeitung dar. Sie wird zum Beispiel benutzt, um optimierte polygonale Netze von Flächen zu erhalten. Denn die Flächen müssen mit polygonalen Netzen dargestellt werden, um vom Computer effizient verarbeiten zu werden. Angenommen, wir haben die Richtungen der kleinsten und größten Hauptkrümmungen in jedem Punkt einer Fläche bestimmt, dann ist es möglich, zwei Netze aus Linien zu zeichnen, die tangential zu diesen Richtungsfeldern sind, und die in Abhängigkeit der Werte der Krümmung auseinander liegen. Dann leiten wir ein optimales Vierecknetz der Fläche ab. Um diese Richtungsfelder zu erhalten, besteht eine der Methoden darin, von einem feinen und regelmäßigen Netz der Fläche auszugehen (siehe 1). Das Problem daran ist die Krümmung in einem Netzpunkt zu bestimmen. Denn, wenn der Punkt auf einer Facette liegt, ist die Krümmung gleich Null für alle Richtungen, weil die Facette eben ist. Wenn der Punkt auf einer Kante liegt, ist die Krümmung gleich Null entlang dieser Kante, und unendlich groß in den anderen Richtungen, weil der Punkt in diesem Fall an einer Spitze eines Winkels liegt. Auf einer Ecke des Netzes ist die Situation komplizierter, aber die Krümmung ist noch unendlich groß. Die Lösung ist dann, einen kleinen Teil des Netzes in der Nähe der Ecke zu betrachten und seinen Krümmungstensor zu berechnen. Er wird aus den Längen der Kanten und aus den Winkeln zwischen den Normalen der zwei zu den Kanten benachbarten Facetten in dieser Umgebung berechnet. Die Eigenelemente dieses Tensores geben die Normalen der Fläche und die Hauptkrümmungen. Die Qualität der Approximation dieser Methode hängt von der Feinheit des initialen Netzes und der Größe des um dem Punkt betrachten Teiles des Netzes ab. Wie alle diskreten Methoden kann sie zu Unstimmigkeiten hinsichtlich der Singularitäten führen. Andere Methoden erlauben, die Krümmungen direkt aus Punktmengen zu berechnen. Aber das Verfahren ist noch diskret. Wie ist es nun möglich, das initiale Netz zu umgehen und wie kann man die Richtungen der Hauptkrümmungen so genau wie möglich bestimmen ? Eine Lösung besteht darin, eine implizite Fläche aus Punktdaten zu bestimmen. Wenn die implizite Funktion ausreichend differenzierbar ist, dann ist es möglich, explizit ihren Gradienten und ihre Krümmungen zu berechnen, ohne die Methode der Finiten Differenzen zu verwenden. Außerdem erlaubt die Möglichkeit, Punkte auf die implizite Fläche zu projizieren, die Benutzung eines initialen Netzes zu umgehen. Die Qualität der Ergebnisse hängt von der Qualität der Approximation der Fläche durch die implizite Funktion ab. Hier geht es um die Untersuchung einer speziellen impliziten Funktion (siehe 2). Ein Vorteil dieser Funktion ist es, unendlich differenzierbar zu sein, was uns erlaubt, explizit den Gradienten und die Hauptkrümmungen der impliziten Fläche zu berechne