Mikropolare Plastizität

In dieser Arbeit wird eine mikropolare Plastizitätstheorie für finite Deformationen, die kinematische und isotrope Verfestigung berücksichtigt, entwickelt. Charakteristische Eigenschaften der Theorie sind die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten und des mikropolaren Rotationstensors in entsprechende elastische und plastische Anteile. Das Elastizitätsgesetz wird vom Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik hergeleitet. Außerdem wird für die Definition der Fließfunktion ein Spannungstensor verwendet, der auf dem Mandelschen Spannungstensor im Rahmen der klassischen (nichtpolaren) Plastizität basiert. Das Fließgesetz wird von dem Postulat von Il'iushin hergeleitet, welches für mikropolare Kontinua angemessen formuliert wird. Die Verfestigungseigenschaften werden in die freie Energie und die Fließfunktion einbezogen, wobei die entsprechenden Evolutionsgleichungen als hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit der sogenannten inneren Dissipationsungleichung hergeleitet werden. Auf diese Weise wird für die erarbeiteten mikropolaren Plastizitätsgesetze die thermodynamische Konsistenz gesichert. Um beliebige mechanische Strukturen als Anfangsrandwertprobleme betrachten zu können, muss das entwickelte konstitutive Modell mittels eines numerischen Verfahrens umgesetzt werden. In der vorliegenden Arbeit geschieht dies mit Hilfe der Methode der finiten Elemente. Aus der starken Form des quasistatischen Randwertproblems werden die schwache Formulierung des Gleichgewichts für mikropolares Materialverhalten und die konsistente Linearisierung der schwachen Form hergeleitet. Auf der Basis dieser Grundgleichungen erfolgt die Beschreibung der Methode der finiten Elemente mittels Einführung einer Diskretisierung und einer isoparametrischen Interpolation. Bei der Integration der Gleichungen findet das Operator-Split-Verfahren Anwendung. Aus den Gleichungen auf Elementebene werden die globalen Gleichungen assembliert und in einer globalen Gleichgewichtsiteration gelöst. Die Finite-Elemente-Methode kann auf beliebige Elementformulierungen angewandt werden. Hier wird ein eigenständig entwickeltes dreidimensionales 8-Knoten-Volumenelement mit Verschiebungs- und Rotationsfreiheitsgraden betrachtet. Dieses Element wird über die Benutzerschnittstelle Uel in das kommerzielle Finite-Elemente-Programm Abaqus implementiert. Es wird gezeigt, dass die entwickelte mikropolare Plastizitätstheorie in der Lage ist, Längenskaleneffekte im Materialverhalten wiederzugeben. Dazu wird die Torsion eines Vollzylinders diskutiert. Die berechneten Ergebnisse werden qualitativ mit experimentellen Resultaten verglichen. Die Finite-Elemente-Berechnungen demonstrieren, dass bei kleinen Geometrien die Berücksichtigung kinematischer Verfestigung auch für Deformationen mit monotonen Belastungen sehr wichtig ist. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den klassischen Plastizitätsmodellen. Unterschiede auch hinsichtlich der Effekte zweiter Ordnung wurden bei der einfachen Torsion festgestellt. Weitere Eigenschaften der konstitutiven Theorie werden anhand einer gelochten Platte unter Zugbeanspruchung veranschaulicht. Für die gelochte Platte sagt die Theorie für mikroskopische Geometrien Längenabhängigkeiten voraus. Bei größeren Probengeometrien mit Einschnürung ist für die Beschreibung von Längenabhängigkeiten die Berücksichtigung von Schädigung erforderlich