The Quaternionic Hardy Space and the Geometry of the Unit Ball

The quaternionic Hardy space of slice regular functions H2(B) is a reproducing kernel Hilbert space. In this note we see how this property can be exploited to construct a Riemannian metric on the quaternionic unit ball B and we study the geometry arising from this construction. We also show that, in contrast with the example of the Poincaré metric on the complex unit disc, no Riemannian metric on B is invariant with respect to all slice regular bijective self maps of B.Lo spazio di Hardy di funzioni slice regolari sui quaternioni H2(B) è uno spazio di Hilbert con nucleo riproducente. In questa nota vediamo come questa proprietà possa essere utilizzata per costruire una metrica Riemanniana sulla palla unitaria quaternionica B e studiamo la geometria derivante da questa costruzione. Mostriamo inoltre che, in contrasto con l’esempio della metrica di Poincaré sul disco unitario complesso, non esiste una metrica Riemanniana su B che sia invariante rispetto a tutte le trasformazioni slice regolari biettive della palla in sé