On some apllications of Lie Algebroids in Geometry and Physics

El objetivo de esta tesis es el estudio de algunas aplicaciones de la teoría de algebroides de Lie, un concepto que generaliza tanto al de álgebra de Lie como al de fibrado vectorial, en problemas matemáticos y físicos concretos. La estructura de algebroide de Lie ha sido ya utilizada en distintos campos como mecánica, topología algebraica, geometría algebraica y geometría diferencial. En el primer capítulo hemos introducido esta noción, presentado unos ejemplos de ello y unas de sus propiedades que van a ser útiles en los siguientes capítulos. Un concepto fundamental para la parte matemática de nuestro trabajo es el del campo de Jacobi, que en la geometría Riemanniana puede ser interpretado como el campo vectorial variacional asociado a una familia 1-paramétrica de geodésicas. En esta parte, uno de nuestros resultados principales es la generalización de dicha noción a la de sección de Jacobi asociada a una ecuación diferencial de segundo orden (denominada sode) definida en un algebroide de Lie, que está acompañada de la generalización de la ecuación de Jacobi que la satisfacen estas secciones de Jacobi. Para ello hemos introducido el concepto de derivada dinámica covariante y el del endomorfismo de Jacobi asociados a una sode en este caso general. Una referencia importante relacionada con estos asuntos es. A continuación hemos considerado el caso de un algebroide de Lie Riemanniano. Hemos recordado brevemente la noción de la conexión Levi-Civita asociada a la métrica de Riemann, su correspondiente spray geodésico y hemos hallado las fórmulas de variación de la funcional de energía. Hemos utilizado nuestra teoría por el caso de una sode definida en un algebroide de Lie Riemanniano, donde el sode es el spray geodésico asociado a la conexión de Levi-Civita. En este caso, hemos mostrado que la derivada covariante asociada a la conexión Levi-Civita es la derivada covariante dinámica asociada al spray geodésico correspondiente a esta conexión, y hemos hallado la relación existente entre el endomorfismo Jacobi asociado a este spray y el tensor de la curvatura de la conexión Levi-Civita. Con estas observaciones, a través de la forma que lleva la segunda variación calculada anteriormente, se ha reencontrado, tal como en el caso de la Geometría Riemnniana, la relación que hay entre las secciones de Jacobi y los problemas de minimización de la energía. En final, hemos definido el concepto de puntos conjugados y hemos demostrado que si a largo de una curva integral del spray geodésico no hay puntos conjugados, entonces esta minimiza la funcional energía del sistema cuyas soluciones son dadas de este mismo spray. En la parte relativa a las aplicaciones físicas nos hemos centrado nuestra atención sobre el teorema de virial, mostrando que admite una generalización al marco de algebroides de Lie. El teorema de virial para una función virial,-una función acotada en un intervalo de tiempo-, afirma que su promedio sobre un tal intervalo es cero. En casos particulares, como consecuencia, en el teorema de virial aparecen relaciones entre los promedios temporales de cantidades, como, por ejemplo, de la energía cinética del sistema con la de la energía potencial del sistema. Originalmente introducido de Clausius en el campo de la mecánica clásica estadística, el teorema de virial se ha mostrado de gran utilidad también en otras distintas ramas de la física. Tiene una amplia aplicabilidad en sistemas dinámicos y termodinámicos, sistemas con velocidad dependiente de fuerzas y en sistemas viscosos. Aunque el teorema de virial ofrece menos información que las propias soluciones de las ecuaciones de movimiento, es mas simple de aplicar y puede ofrecer información sobre sistemas cuyo análisis completo puede ser complicado. Se ha probado recientemente que los teoremas de tipo virial son válidos también para espacios de configuración distintos al espacio real n-dimensional. Fue estudiado haciendo uso del formalismo simpléctico tanto en el caso Hamiltoniano como en el Lagrangiano. En la parte de aplicaciones en física, hemos comenzado con el formalismo Lagrangiano, y escrito intrínsecamente y en coordinadas locales el teorema de virial para un sistema Lagrangiano de tipo mecánico en una variedad de Riemann. Casos particulares importantes estudiados son el de una función virial afin asociada con un campo vectorial en la variedad de configuración, los de funciones viriales asociadas con campos Killing, homotéticos, y conformes Killing. Los campos vectoriales conformes de Killing y en particular los campos vectoriales homoteticos han sido relevantes en muchos problemas en física y particularmente en la geometría espacio-tiempo. Cada uno de estos casos particulares ha sido ilustrado por medio de un ejemplo. Después hemos estudiado en el marco geométrico del teorema de virial en términos de cuasi velocidades en el caso Lagrangiano dando así una interpretación geométrica del formalismo de Boltzmann del teorema de virial, trasladable en cuasi-momenta al caso Hamiltoniano, dando así una interpretación geométrica del teorema de virial en el formalismo de Poincaré. Esto nos ha preparado el camino para proponer una generalización del teorema de virial para sistemas mecánicos en Lie algebroides, usando los métodos geométricos de la mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana en la prologación de un algebroide de Lie en el caso Lagrangiano, respectivo de su dual en el caso Hamiltonianao, con respecto al Lie algebroide inicial, dos casos particulares de algebroides de Lie simplécticos. Esta nueva generalización del teorema del virial y en particular el caso de la formulación en términos de cuasi-velocidades nos permite utilizarlo para sistemas mecánicos con ligaduras no holónomas. El oscilador armónico noholonómico, el trineo de Chapygin, y el sistema de Suslov, son ejemplos que hemos usado para ilustrar la teoría de los sistemas no holónomos.The main purpose of our work is to present applications of the Lie algebroid structure in both mathematical and physical context. In the first chapter we have introduced the notion of Lie algebroid, presenting a number of examples, and we have presented some useful properties that we used later on. One of our principal results in the mathematical part was to give a generalization of the notion of Jacobi fields corresponding to sode on manifolds and on Lie algebroids. We have done that considering a new take on a first order variational equation on a manifold. We also generalized the Jacobi equation for this generalized cases of Jacobi fields associated to sode. For that we had to generalize the non-linear connection and the Jacobi endomorphism to the context of Lie algebroid. We used this theory in the particular instance of a geodesic spray on a Riemannian Lie algebroid. For this case we have shown that an integral curve of it has no conjugate points along it if and only if it minimizes the energy functional of the system whose solution are given by the geodesic spray. To exemplify the theorem we considered the space of skew-symmetric matrices of dimension 3 who has a Lie algebroid structure. In Chapter 4, for the physical counterpart, we analyzed the virial theorem in the first place for mechanical systems and nonholonomic systems on the tangent bundle, and afterwards, for unconstrained and nonholonomic systems on Lie algebroids. We could prove that a virial like theorem holds for systems on Lie algebroids, fact that will allow us to obtain information about the time average of the action of the dynamical section upon the virial function for more systems than before due to the wide range of systems that can be described with the help of a Lie algebroid structure. Also in this chapter we have presented in detail instances of this theorem through some examples. We find interesting for further investigation to see if the minimizing theorem presented here takes place for any Lagrangian, not necessarily a Riemannian one and for the other topology. Precisely see in what conditions the result holds when we look for the geodesic to be a strong minimum for the energy functional