The classification theorem for closed surfaces

In this thesis we will study some basic concepts in algebraic topology such as the fundamental group, simplicial complexes and simplicial homology. These are then used together with a method called surgery to prove a complete topological classification of closed surfaces.De flesta människorna har nog en idé vad en yta är för något. Det kan vara skalet på en apelsin eller ovansidan av ett bord. En sluten yta är inom matematiken en sådan yta som inte har några kanter. I detta arbete är målet att kunna klassificera alla möjliga slutna ytor. Denna klassifikation är med avseende på ett ämne inom matematiken som kallas topologi. Där klassas två ytor som samma sak om man kan deformera den ena till den andra. Exempelvis kan man ta en kub och genom att runda av hörnen få en sfär. En sfär och en badring är dock inte densamma eftersom badringen har ett hål medan sfären inte har det och just hål är en sådan sak som inte får tillföras i deformationen. I fallet av att klassificera slutna ytor är det antalet hål som är den avgörande faktorn. Det är dock svårt att direkt se på en allmän sluten yta hur många hål den har, därför kommer verktyg från algebra och geometri behövas till vår hjälp. Först undersöks antalet hål på ytan genom att introducera en så kallad grupp som ska kolla på hur många sätt en ögla kan träs runt ytan utan att öglan försvinner när den dras åt. Denna grupp kallas ytans fundamentalgrupp och det är en av de huvudsakliga objekten vi undersöker